• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих. Метод Гауса.

Крамер

Нехай дано систему n-лін. рівнянь з 3n-невідомими

а11х1+а12х2=b1

а21х1+а22х2=b2 (1)

Домножимо 1р. на а22

2р-на (-а12)

3р-аn1

і складемо рівняння;після цьогоперше рівняння помножимо на а21,друге-на (-а11) і складемо одержані рівняння.Одержимо систему, еквівалентну системі (1) : (а11а22-а21а12)х1=в1а22-в2а12

(а11а22-а21а12)х2=в2а11-в1а21 (2)

систему (2) можна записати , використовуючи визначники

При розвязуванні системи можливі такі випадки:

1).∆≠0.Тоді система (3), а отже, і система (1) має один розвязок:

х1=∆1/∆, х2=∆2/∆

2).∆=0, ∆1≠0 або ∆2≠0 У цьому випадку система (1) несумісна.

3).∆=∆1=∆2=0 У цьому випадку система (1) складається з двох пропорційних рівнянь, тобто фактично зводиться до одного рівняння з двома невідомими, і тому має безліч розвязків :надаючи довільних значень одному невідомому, одержуватимемо значення іншого невідомого.

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих. Метод Гауса.

Метод Гауса-це метод послідовного вилучення невідомих. За допомогою елементарних перетворень систему можна звести до рівносильної трапецієвидного або трикутного виду

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих Вважаємо, що серед коефіцієнтів при невідомому є відмінні від нуля. Нехай таким буде . Тоді перше рівняння системи (1)

почленно ділимо на і одержуємо

. (2)

Рівняння (2) множимо на і сумуємо з другим рівнянням системи (1); на і сумуємо з третім рівнянням; ..., на і сумуємо з -им рівнянням системи (1). Одержуємо систему, -е рівняння якої не містить невідоме .

Аналогічно, послідовно вилучаючи , одержуємо систему, що має вигляд . (3)

Поетапно піднімаючись знизу вгору в системі (3), знаходимо .

9.Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом повного виключення невідомих. Метод Жордано Гауса.

МетодЖордано Гауса -це метод повного вилучення невідомих. На першому кроці ми виключаємо змінну з усіх рівнянь системи крім першого.На другому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння.

Запишемо так звану розширену матрицю системи

(1)

. (2)

За допомогою еквівалентних перетворень: на першому кроці ми виключаємо змінну з усіх рівнянь системи крім першого, на другому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім другого, на третьому кроці виключаємо змінну з усіх рівнянь крім третього, на n-ому кроці змінна виключається з усіх рівнянь крім n-ого рівняння. Матрицю (2) приводимо до вигляду

. (3)

Тоді з (3) знаходимо послідовно ,

Якщо за допомогою еквівалентних перетворень розширену матрицю В (2) системи (1) привести до вигляду

, (4)

то отримаємо систему розв’язану методом Жордана-Гаусса.

10.Системма m-лінійних рівнянь з n-невідомими. Базисний мінор, базисні і вільні невідомі. Загальний і частинний розв’язок систем.

Розглянемо систему m лінійних алгебраїчних рівнянь відносно n невідомих:

(1)

Позначимо матрицю коефіцієнтів літерою А:

. (2)

Розширену матрицю літерою В:

. (3)

Теорема

Якщо rang A=rang B, то система (1) сумісна. Якщо ця рівність не виконується, то система несумісна.

НАСЛІДОК

Якщо rang A=rang B=n, то система (1) має тільки один розв¢язок. Якщо ж rangA=rangB<n, то система (1) має нескінченну множину розв¢язків.

розглянемо випадок, коли система сумісна, але ранг менше кількості невідомих, тобто випадок, коли система має нескінченну множину розв¢язків.

Якщо ранг матриці коефіцієнтів дорівнює r, існує якийсь . Він називається базисним мінором. Знайшовши цей базисний мінор, ми запишемо еквівалентну систему для системи (1). Для цього залишаємо тільки ті рівняння, коефіцієнти з яких утворили базисний мінор; при цьому члени рівнянь, коефіцієнти при яких не увійшли в базисний мінор, перенесемо вправо. Тоді одержимо систему r лінійних алгебраїчних рівнянь відносно r невідомих, а одержані праві частини відіграють роль вільних членів.

Для розв¢язання такої системи можна використати один із методів: формули Крамера, матричний спосіб, метод Гаусса, метод Жордана-Гаусса. Одержимо розв¢язок системи, де r невідомих будуть виражені через решту (n-r) невідомих, які мають назву незалежних невідомих.

Якщо надати цим невідомим довільні числові значення, то одержимо загальний розв¢язок системи. Щоб одержати часткові розв'язки системи, достатньо зафіксувати значення незалежних змінних.

Читайте також:

1. Active-HDL як сучасна система автоматизованого проектування ВІС.
2. B. Тип, структура, зміст уроку і методика його проведення.
3. D – моделювання в графічній системі КОМПАС
4. D) методу мозкового штурму.
5. D. СОЦИОИДЕОЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЩЕЙ И ПОТРЕБЛЕНИЯ
6. Demo 11: Access Methods (методи доступу)
7. Demo 7: Модель OSI (модель взаімодії відкритих систем)
8. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
9. I Метод Шеннона-Фано
10. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
11. I. Метод єдиної подібності.
12. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.

Переглядів: 1248