Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.

Змістовний модуль 6.3. «Нерівності, їх системи і сукупності.».

МОДУЛЬ 6. : «ВИРАЗИ. РІВНЯННЯ. НЕРІВНОСТІ. ФУНКЦІЇ».

ПЛАН.

1. Поняття нерівності з однієї змінною як предиката виду f(x)>g(x), де хєХ.

2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.

3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.

ЛІТЕРАТУРА:[1] – с. 238-293, 317-384; [2] – с. 53-59, 110-115, 294-355; [3] – с. 118-127.

1. Поняття нерівності з однієї змінною як предиката виду f(x)>g(x), де хєХ.

1. Одним із завдань курсу математики середньої школи є формування уявлень про рівняння, нерівності, їх системи і сукупності та формування умінь їх розв’язувати. Нерівності з однією змінною зустрічаються вже в курсі математики початкових класів. Саме тому вчитель повинен знати теоретичні основи питань, пов’язаних із нерівностями. Враховуючи сказане, розглянемо принципові питання. які відносяться до теорії нерівностей з однією та двома змінними з точки зору теорії предикатів. Відзначимо, що майже всі питання. які будуть розглядатися, є справедливими для будь-якого із знаків нерівностей: >, <, ≥, ≤.

Оскільки як в самій математиці, так і в її застосуваннях із нерівностями зі змінними доводиться мати справу не рідше, ніж із рівняннями, то, починаючи з першого класу на уроках математики розпочинають формувати уявлення дітей про числові нерівності та нерівності, що містять змінну. У початкових класах не ставиться завдання навчити учнів розв’язувати нерівності. У підручниках з математики для 1-4-х класів не знайдемо завдань типу „розв’язати нерівність”, „знайти множину розв’язків нерівності”, бо ці терміни в початкових класах не вводяться. Завдання вказаного виду формулюють так: „із заданих значень вибрати те, при якому нерівність правильна”, „підберіть два чи три таких значення, щоб нерівність була правильною” тощо.

Нерівності зі змінними в початкових класах розв’язуються або методом підбору, або методом зведення до рівняння. Наприклад, для нерівності 12·k<96 при використанні першого способу діти міркують приблизно так: якщо k=7, то12·7=84, 84<96. Отже, k=7 підходить. При використанні другого способу учні міркують так: замінимо нерівність 12·k<96 рівнянням 12·k=96. Розв’язавши його, маємо k=8. Оскільки добуток 12·k повинен бути меншим, ніж 96, то замість k слід підставляти числа менші за 8, тобто числа 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відносно нерівностей в математиці становляться наступні завдання: 1) довести нерівність, тобто показати, що нерівність правильна при будь-яких значеннях змінних, що входять у цю нерівність. У цьому випадку говорять, що потрібно довести нерівність; 2) розв’язати нерівність, тобто знайти всі ті значення змінних, при підставці яких у нерівність, ми отримуємо правильну числову нерівність. У цьому випадку говорять, що потрібно розв’язати нерівність.

Перейдемо до визначення сутності основних понять, пов’язаних із нерівностями. Розглянемо два предикати f(x) і g(х), які задані на множині X, По аналогії з рівняннями з однією змінною введемо означення нерівності.

Означення: предикат виду f(x)>g(x) (або f(x)<g(x), або f(x)≤g(x), або f(x)≥g(x)), заданий на множині X, називається нерівністю з однією змінною.

Аналогічно можна дати означення для нерівностей з будь-якою скінченною кількістю змінних. Так, по аналогії з попереднім можна ввести означення нерівності з двома змінними.

Означення: предикат виду f(x.y)>g(x.y) (або f(x.y)<g(x,y), або f(x,y)≤g(x,y), або f(x,y)≥g(x,y)), заданий на множині X, називається нерівністю з двома змінними.

Із теорії предикатів відомо, що кожен предикат пов’язаний із множиною, з якої можна вибирати значення змінної. Тоді кожна нерівність також пов’язана з множиною, яку прийнято називати областю допустимих значень або областю визначення.

Означення: множиною допустимих значень змінної або областю визначення нерівності називається така множина значень хєX, при яких нерівність має зміст.

Як відомо, область визначення предиката поділяється на дві підмножини: 1) множина істинності предиката, яка складається з таких хєХ, при підстановці яких у предикат отримуємо істинне висловлення; 2) множина хибності предиката, яка складається з таких хєХ, при підстановці яких у предикат отримуємо хибне висловлення. Оскільки нерівність є предикатом, то її область визначення також будемо поділяти на дві підмножини. Саме тому множину істинності нерівності будемо називати множиною розв’язків нерівності.

2. Основним загальним методом розв’язування нерівностей, як і рівнянь, є метод перетворень. Такі перетворення повинні бути тотожними або рівносильними, бо в противному випадку ми можемо втратити або одержати сторонні корені. Для того, щоб щоразу не перевіряти чи рівносильними були перетворення, в математиці доводять відповідні теореми. Спочатку введемо означення понять „розв’язок нерівності”, „множина розв’язків нерівності”, а потім доведемо теореми про рівносильність нерівностей.

Означення: розв’язком нерівності f(x)>g(x) називається таке значення х₀єX, яке перетворює нерівність із змінною в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

Означення: сукупність усіх розв’язків нерівності прийнято називати множиною розв’язків нерівності або множиною розв’язків нерівності із змінною називається множина істинності відповідного предикату.

Означення: дві нерівності із змінними, називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині і множини їх розв’язків співпадають.

Означення: дві нерівності із змінною, які задані на одній і тій самій множні, називаються рівносильними, якщо всі розв’язки однієї нерівності є розв’язками другої нерівності і навпаки.

Дві нерівності можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в інший числовій області.

Теорема 1: якщо вираз j(x) визначений для всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (І) рівносильна нерівності f(x)+j(x)>g(x)+j(x) (II).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.	\|	Доведення.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.