Безліч всіх підмножин множини|безлічі| називається булеаном|.
Теорема 3.1.Множина|безліч| з|із| n елементів має підмножин.
Доказ: Цю теорему можна довести різними способами (так само, як і багато інших теорем). Ми доведемо її, використовуючи бінарні представлення чисел. Припустимо|передбачимо|, що ми маємо множину|безліч| з|із| трьох елементів . Кожну підмножину цієї множини|безлічі| зашифруємо за допомогою бінарного коду. Цей код складатиметься з трьох біт (по кількості членів початкової|вихідної| множини|безлічі|). Якщо в даній підмножині присутній елемент , першому біту коду привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Якщо в підмножині присутній елемент , другому біту привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Якщо в підмножині присутній елемент , третьому біту привласнюємо значення одиниці, інакше – нуля. Розглядаючи|розглядуючи| всі можливі підмножини початкової|вихідної| множини|безлічі|, включаючи порожню|пусту| множину|безліч|, отримаємо наступний|такий| результат.
Як можна бачити, підмножини множини|безлічі| відповідають восьми числам: 0, 1, ..., 7. Ми розглянули|розгледіли| всі бінарні комбінації в межах трьох біт. Як відомо, кількість таких комбінацій рівна .
Застосовуючи даний метод до множини|безлічі| з|із| чотирьох елементів, одержимо|отримаємо| кількість підмножин: . Для множини|безлічі| з|із| п'яти елементів: . Узагальнюючи ці результати, приходимо до висновку, що множина|безліч| з|із| n елементів має підмножин.
Кантор був першим, хто став розглядати|розглядувати| потужності (кардинальні числа) нескінченних|безконечних| множин|безлічі|. Потужність рахункової множини|безлічі| він позначив староєврейською буквою|літерою| «алеф|» з|із| нульовим індексом: . Потужність безлічі дійсних чисел, звану також потужністю континууму, позначив як: . Відомо, що кардинальне число більше кардинального числа . На початку 80-х років 19 століття|віку| Кантор висловив гіпотезу про те, що найближчою наступною|слідуючою| за потужністю є|з'являється,являється| потужність континууму . Узагальнена континуум-гіпотеза свідчить, що для будь-якої множини|безлічі| перша потужність, що перевершує потужність цієї множини|безлічі|, є потужність безлічі всіх підмножин множини|безлічі| . Таким чином , , …