• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференціальні рівняння 1-го порядку.

У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку може бути записано у вигляді

.

Рівняння виду

(1)

або

, (2)

а також рівняння, котрі за допомогою алгебраїчних перетворень приводяться до рівнянь (1) або (2), називаються рівняннями з відокремлюваними змінними.

Відокремлювання змінних в рівняннях (1), (2) виконується за таким способом. Припустимо, що , і розділимо обидві частини рівняння (1) на . Для рівняння (2) обидві його частини помножимо на dx і розділимо на . В результаті отримаємо рівняння з відокремленними змінними

, ,

котрі інтегруються за формулою

, .

.

Означення. Рівняння

, (4)

лінійне стосовно невідомої функції y та її похідної , називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Такого типу рівняння може бути розв’язано методом варіації довільної сталої за таким способом. Замість сталої C в розв’язку однорідного рівняння введемо нову функцію , і в якості розв’язку неоднорідного ріняння (1) будемо розглядувати

, (5)

де будемо розшукувати невідому функцію .

Диференціювання (5) дає

. (6)

Підставляючи (5) і (6) в дане рівняння, одержимо

,

тобто

® .

Інтегруванням останнього результату знаходимо

.

Отже, загальний розв’язок рівняння (4) завжди може бути записаний у вигляді

, (7)

де C - довільна стала.

6.3. Диференціальні рівняння 2-го порядку.

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд:

у΄΄+р у΄+qy=0, (1)

де р і q – сталі дійсні числа.

Будемо шукати частинний розв’язок у вигляді y = e^kx, тоді

у΄= k e^kx , у΄΄= k² e^kx

к² e^kx+рк e^kx+ q e^kx=0

e^kx(к²+ pk+ q)=0

k²+pk+ q=0 (2)

Рівняння (2) називається характеристичним. Розв’язавши його, знайдемо два частинні розв’язки рівняння (1): .

Розглянемо 3 випадки:

1) Корні характеристичного рівняння дійсні, різні.

Тоді у₁ = e^k1x , у₂ = e^k2x і загальний розв’язок:

у=С₁ e^k1x + С₂ e^k2x, с_1, с₂ – довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, кратні. Якщо k є двократний корінь характеристичного рівняння, то йому відповідають два різних частинних розв’язки, а саме

у₁ = e^kx , у₂ = хe^kx.

Загальний розв’язок буде у= e^kx(С₁+ С₂х), с_1, с₂ – довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння комплексні:

к₁=α+βі; к₂= α-βі, де .

Тоді частинні розв’язки: у₁ = e^(α+βі)х, у₂ = e^(α-βі)х.

Користуючись показниковою формою комплексного числа і його похідними, можемо записати

у₁ = e ^αхcosβх, у₂ = e ^αхsіnβх.

Загальний розв’язок: у=e ^αх(с₁ cosβх+ с₂sіnβх), с_1, с₂ – довільні сталі.

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. VІI. Утворіть вищий та найвищий ступені порівняння від прислівників із вправи VI.
3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
4. Афінний шифр k-ro порядку.
5. Бінарне відношення порядку.
6. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
7. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
8. Векторне канонічне параметричне рівняння прямої в просторі.
9. Вивід основного рівняння фільтрації
10. Визначення типу порівняння даних
11. Використання рівняння номінальних витрат за моделлю COCOMO II
12. Відбулися кардинальні зміни у світовому порядку. На авансцену виходить Європа1.

Переглядів: 887