Доведення. Підставимо в дане рівняння замість його значення:
.
Згідно з
Згідно з
Згідно з
Згідно з
Зауваження. Число називається різницею чисел та і позначається . Зазначимо, що за умови різниця . Дійсно, якщо , то за Одержуємо , далі за Маємо , тобто .
2. Число є розв'язком рівняння , якщо .
Доведення. Підставимо в дане рівняння значення :
.
Згідно з .
Згідно з .
Згідно з .
Згідно з .
Зауваження. Число називається часткою чисел й і позначається або .
3. Якщо , то .
Дійсно, оскільки , то . Отже, за , звідки одержуємо .
Зокрема, якщо , то , а якщо , то .
Дійсно, згідно з , далі за . Отже,
0= − 0.
4. Якщо і , то .
Дійсно, якщо і , то за , . Далі згідно з .
5. Якщо та , то .
Дійсно, якщо , то згідно з і за 4 одержуємо: .
6. .
Це випливає з того, що .
7. .
Справді, .
8. .
Дана рівність доводиться так: .
9. .
Доведення:
Зокрема, .
10. Якщо і , то .
Дійсно, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси .
11. Якщо та , то .
Справді, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси маємо .
12. Якщо , то .
Це випливає з і 11.
За властивістю маємо: , тобто .
Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.