Нескінченно малі функції. Функція називається нескінченно малою в точці ( або при ), якщо .
Аналогічно означаються нескінченно малі функції при .
Виходячи з означень границі функції за Гейне і за Коші, можна навести наступні рівносильні означення нескінченно малої функції.
Функція називається нескінченно малою в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність є нескінченно малою.
Функція називається нескінченно малою в точці , якщодля довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , які задовольняють умову .
Теорема . Число є границею функції у точці тоді і тільки тоді, коли , де – нескінченно мала функція в точці .
Доведення. Нехай . Покажемо, що різниця є нескінченно малою в точці . Дійсно,
.
Нехай тепер , де – нескінченно мала функція в точці . Тоді
.
Нескінченно малі функції мають такі ж властивості, як і нескінченно малі послідовності:
алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих у точці функцій є нескінченно малою в точці функцією;
добуток скінченного числа нескінченно малих у точці функцій, а також добуток нескінченно малої функції на обмежену функцію є нескінченно малою в точці функцією.
Викладене вище має місце також для нескінченно малих функцій функції при .
Нескінченно великі функції. Нехай функція визначена в деякому околі точки .
Функція називається нескінченно великою в точці , якщо для будь-якого числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .
Означення нескінченно великої в точці функції можна дати мовою послідовностей.
Функція називається нескінченно великою в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовності , відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою.
Символічно це записують так: і говорять, що функція у точці має нескінченну границю.
Якщо при , то пишуть
.
Аналогічно означенням границі на нескінченності та скінченних односторонніх границь означаються нескінченні границі. При цьому використовуються відповідні записи, наприклад: