• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференційовність функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де - деяке число, не залежне від , а - нескінчено мала функція при , тобто .

Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Доведення.Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці існує похідна .

Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо. За властивістю границі є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де - деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.

Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. Асимптоти графіка функції
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
10. Банківська система та її основні функції
11. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.
12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Переглядів: 6094