Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Формула Тейлора для довільної функції

Теорема Тейлора.Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що

 

(3)

 

Доведення. Позначимо

Покладемо

 

Покажемо, що існує точка така, що

 

.

 

Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

 

.

 

Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1) неперервна на ,

2) диференційована на ,

( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )

3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно

 

Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .

 

Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

 

.

 

Далі маємо:

 

.

 

Звідси одержуємо:

 

.

 

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки , то , де . Тоді

 

, де .

 

Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

 

При маємо формулу Лагранжа

 

 

Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно

 

.

Отже, залишковий член можна подати у формі

 

при ,

 

яка називається формою Пеано.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

 

.

 

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

 

де ,

 

а в формі Пеано

.

Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .


Читайте також:

  1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
  2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
  4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
  6. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  7. Асимптоти графіка функції
  8. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
  9. Базові функції, логічні функції
  10. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
  11. Банківська система та її основні функції
  12. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.




Переглядів: 1637

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розглянемо многочлен | Ознака монотонності функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.02 сек.