• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Формула Тейлора для довільної функції

Теорема Тейлора.Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що

(3)

Доведення. Позначимо

Покладемо

Покажемо, що існує точка така, що

.

Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

.

Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1) неперервна на ,

2) диференційована на ,

( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )

3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно

Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .

Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

.

Далі маємо:

.

Звідси одержуємо:

.

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа.

Оскільки , то , де . Тоді

, де .

Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

При маємо формулу Лагранжа

Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно

.

Отже, залишковий член можна подати у формі

при ,

яка називається формою Пеано.

Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

.

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

де ,

а в формі Пеано

.

Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .

Читайте також:

1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
6. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
7. Асимптоти графіка функції
8. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
9. Базові функції, логічні функції
10. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
11. Банківська система та її основні функції
12. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.

Переглядів: 1646