Теорема Тейлора.Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що
(3)
Доведення. Позначимо
Покладемо
Покажемо, що існує точка така, що
.
Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію
.
Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:
1) неперервна на ,
2) диференційована на ,
( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )
3) на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно
Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .
Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то
.
Далі маємо:
.
Звідси одержуємо:
.
Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа.
Оскільки , то , де . Тоді
, де .
Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді
При маємо формулу Лагранжа
Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно
.
Отже, залишковий член можна подати у формі
при ,
яка називається формою Пеано.
Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена
.
У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд
де ,
а в формі Пеано
.
Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .