56. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.
4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.
Теорема . Якщо функція диференційована на інтервалі і на , то функція зростає (спадає).
Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалі дві довільні точки такі, що . На відрізку функція задовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точка така, що
.
Звідси випливає, що за умов і маємо: , тобто .
Для випадку доведення аналогічне.
2. Екстремальні точки
Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує - окіл точки такий, що для будь-якої відмінної від точки . При цьому саме значення називається локальним максимумом (мінімумом) функції .
Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму або екстремальними точками функції .