Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник






Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину

Нехай функція визначена на інтервалі і в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну. Тоді в кожній точці графіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі . Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою.

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі. Іноді її ще називають опуклою вниз (рис. 25).

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі. Таку криву ще називають опуклою вгору (рис. 26).

 

 
 


Точка називається точкою перегину гладкої кривої , якщо існує -окіл точки такий, що в інтервалах і крива має опуклість різних напрямків (рис. 27).

 

 

 

У цьому випадку графік функції в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

 

 

Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщо у всіх точках , то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз), якщо ж у всіх точках , то графік функції на інтервалі опуклий (опуклий вгору).

Доведення. в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

Нехай . Виберемо точку і покажемо, що графік функції лежить не нижче дотичної, яка проходить через точку . Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою . Запишемо рівняння дотичної в точці :

 

(1)

 

Оскільки функція має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при ) маємо:

 

(2)

 

де . Віднімемо від рівності (2) рівність (1)

 

.

Оскільки , то , тобто . Отже, графік функції у будь-якій, відмінній від , точці лежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою .

Аналогічно доводиться теорема для випадку .

Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функція визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі . Тоді. Якщо в кожній точці , то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз). Якщо , , - то графік опуклий (опуклий вгору).

Отже, якщо на інтервалі , то графік функції точок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка , де може бути точкою перегину графіка функції лише в тому випадку, коли .

Отже, умова є необхідною, для того, щоб точка була точкою перегину графіка функції .

Покажемо, що не всяка точка за умови є точкою перегину. Розглянемо такий приклад: Нехай . Тоді при . Але точка не є точкою перегину графіка функції (рис. 28).

 

Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції . Нехай точка така, що й існує таке , що в інтервалах і друга похідна має різні знаки. Тоді точка є точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалах і крива має опуклість різних напрямків. Отже, точка є точкою перегину цієї кривої.

Зауваження. Точка є точкою перегину графіка функції і в тому випадку, коли в точці існує дотична до графіка функції , друга похідна в самій точці не існує, але існує в деякому -околі точки , причому в інтервалах і має різні знаки.

Це установлюється аналогічно попередньому.

Приклад. Нехай . Ця функція в точці має нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точці співпадає з віссю . Друга похідна в точці не існує. Графік функції в точці має перегин, оскільки справа і зліва від точки друга похідна має різні знаки (рис. 29).

 

 


Читайте також:

  1. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
  2. Аналіз точки беззбитковості
  3. Видалення характерної точки
  4. Визначення точки
  5. Визначення точки беззбитковості
  6. Визначення точки беззбитковості.
  7. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
  8. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
  9. Диференціальні рівняння руху вільної матеріальної точки
  10. Енергетичні рівні напівпровідникової квантової точки
  11. З точки зору динамічного підходу механізм соціального конфлікту проходить зазвичай наступні стадії протікання конфлікту.
  12. З точки зору цілей, які відстоюють протидіючі сторони конфлікту розподіляються на особисті, групові, суспільні.




Переглядів: 3292

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розв’язування. | Асимптоти графіка функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.002 сек.