• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Визначення

Визначення

В логіці висловлень правильно побудована формула визначається рекурсивно таким чином:

1.Атом є формула.

2.Якщо А і В — формули, то (А Ù В), (A Ú В), (А ® В), (А ~ В)і ØА — також формули.

3.Ніяких формул, крім породжених вказаними вище правилами, не існує.

Формули логіки висловлень, що відповідають складним висловленням, приймають значення І або X залежно від значень елементарних висловлень, з яких вони побудовані, і логічних зв'язок.

Приписування істиннісних значень атомам, з яких побудоване висловлення, називається інтерпретацією висловлення.

Для висловлення, що містить п атомів, можна скласти 2ⁿ інтерпретацій, як і для n‑місної булевої функції.

Поряд з висловленнями, істиннісне значення яких незалежне від ситуації, можна вважати однозначно визначеним, як, наприклад, «2 ´ 2 = 4» = I, існують висловлення, які можуть приймати різні значення. Наприклад, висловленню «Завтра буде дощ» можна надавати значення і «Істина», і «Хибність» залежно від конкретної ситуації.

Формули логіки висловлень можна задавати таблицями істинності подібно до булевих функції. Наведемо таблицю істинності для логічних зв'язок логіки висловлень (таблиця 5.2).

Таблиця 5.2. Таблиця істинності логічних зв'язок

Розглянемо приклади і вирази природної мови, які відповідають логічним зв'язкам.

Заперечення. Заперечення ØА істинне тоді і тільки тоді, коли А хибне. Ця унарна операція відповідає запереченню у звичайній мові, яке може мати різні синтаксичні вирази, наприклад, речення «Неправильно, що у Івана є час» рівнозначне реченню «У Івана немає часу».

Кон'юнкція.Висловлення А а В, що називається кон'юнкцією А і В, істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення А і В. Ця логічна операція відповідає у природній мові зв'язці «і», що з'єднує два речення.

Приклад. Записати у вигляді формули логіки висловлень і визначити істиннісне значення таких висловлень:

І — «6 ділиться на 3, і 10 більше 5»;

II— «6 ділиться на 3, і 7 більше 10».

Розв'язок. Виділимо атоми. їх три:

А — «6 ділиться на З», В — «10 більше 5»,

С— «7 більше 10».

Тоді висловлення І буде відповідати формулі А Ù В, висловлення II — формулі А Ù С Будемо вважати, що висловлення А і В істинні, а висловлення С хибне. Використовуючи істиннісні значення висловлень А, В, С,визначимо значення висловлень І і II:

А Ù В = І Ù І = І; А Ù С = І Ù Х = Х.

Диз'юнкція.Висловлення A Ú В,що називається диз'юнкцією А і В, хибне тоді і тільки тоді, коли хибні обидва висловлення А і В.

Ця логічна операція відповідає поєднанню висловлень природної мови за допомогою зв'язки «або», що вжита у розумінні «або, що не виключає»: «правильне А, або правильне В, або обидва висловлення правильні».

Приклад.Записати у вигляді формули логіки висловлень і визначити істиннісне значення таких висловлень:

І — «5 + 2 = 10 або 5 ´ 2 = 10»,

ІІ — «6 - 3 = 2 або 3 ´ 2 = 5».

Розв'язок. Виділимо атоми:

А — «5 + 2 = 10»; С— «6 - 3 = 2»;

В — «5 ´ 2 = 10»; D— «3 ´ 2 = 5».

Тоді висловлення І буде відповідати формулі A Ú В,висловлення II — формулі С Ú D. Висловлення В істинне, а висловлення А, С і D хибні, тому:

A Ú В = Х Ú І = І; C Ú D = X Ú X = I

Імплікація.Висловлення А ® В, що називається імплікацією(умовним реченням), хибне тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне.

В імплікації А ® В висловлення А називається засновком (умовою, антецедентом), В — наслідком (висновком, консеквентом). Причинно-наслідковий зв'язок між А і В, що виражається імплікацією, на природній мові описується такими зворотами: «якщо А,то В»,«А є достатньою підставою для В», «В, тому що А», «В, за умови виконання А», «А тягне В» тощо.

Використовувані в точних науках поняття достатньої та необхідної умов можна формально виразити за допомогою імплікації. Саме для двох фактів (подій) А і В висловлення А ®В означає, що «А є достатньою умовою для В» і одночасно, що «B є необхідною умовою для А». Необхідність B для А виражається також у формі «В тільки, якщо А». Твердження «А є необхідною і достатньою умовою для B» еквівалентне подвійній імплікації А « В, або

(А ® B) Ù (B ® А) = А « B.

Розглянемо кілька прикладів.

У висловленні «Якщо число п — парне (А), то п ділиться на 4 (В)» умова А буде необхідною, але недостатньою. Жодне непарне число на 4 не ділиться, і в той же час є парні числа, які не діляться на 4. Отже, правильна імплікація B ® А,вихідне висловлення А ® B хибне.

У висловленні «Якщо йде дощ (А), то на небі хмари (В)» умова А буде достатньою, але не необхідною. Існують випадки, коли на небі є хмари, але дощу немає. Тут правильне вихідне висловлення А ® В.

У висловленні «Якщо геометрична фігура — квадрат (А), то вона — рівнобічний прямокутник (В)» умова А буде і необхідною і достатньою для виконання B: А«В.

Приклад.Записати у вигляді формули логіки висловлень і побудувати таблицю істинності висловлення «Якщо йде дощ, то над моєю головою відкрита парасолька». Розв'язок. Введемо атоми:

А — «йде дощ»;

B — «над моєю головою відкрита парасолька».

Тоді висловлення «Якщо йде дощ, то над моєю головою відкрита парасолька» буде відповідати формулі А ® В. Результати інтерпретації цього висловлення наведено у таблиці 5.3.

Таблиця 5.3. Таблиця істинності висловлення

Другий рядок таблиці 5.3 вказує на відсутність причинно-наслідкового зв'язку між подіями А і В.

Еквівалентність (еквіваленція). Якщо А і В — висловлення, то висловлення А ~ В істинне тоді і тільки тоді, коли А і В або обидва істинні, або обидва хибні.

Ця операція відповідає у природній мові зворотам: «...тоді і тільки тоді, коли...», «для того щоб..., необхідно і достатньо...». Наприклад, «Вивчення дискретної математики буде успішним тоді і тільки тоді, коли буде освоєна математична логіка».

Використовуючи таблицю істинності еквівалентності, можні довести, що вираз А~В еквівалентний виразу (А ® В) Ù (В ® А). Таким чином, логічна еквівалентність зображує імплікацію в обох напрямках, тому вираз «А істинне тоді і тільки тоді, коли В істинне» означає, що «А тягне В, і В тягне А».

Заміняючи імплікацію її записом у вигляді ДКНФ (А ® В = Ø A Ú В), одержимо:

А ~ В = (А ® В) Ù (В ® А) = (ØА Ú В) Ù (ØВ Ú А),

А ~ B = (ØA Ú B) Ù (ØВ Ú A). (5.1)

Формула (5.1) дає ДКНФ для еквівалентності. За принципом двоїстості (п. 4.3) ДДНФ для еквівалентності має вигляд:

A ~ B = A Ù B ÚØ A ÙØ B. (5.2)

Приклад. Записати у вигляді формули логіки висловлень і визначити істиннісне значення висловлень:

I — «Для того щоб 2 ´ 2 = 4, необхідно і достатньо, щоб 2 + 2 = 4»;

II — «2 ´ 2 = 5 рівносильно тому, що 3 ´ 3 = 8».

Розв'язок. Введемо позначення атомів:

А — 2 ´ 2 = 4; В — 3 ´ 3 = 8;

С — 2 + 2 = 4; D — 2 ´ 2 = 5.

Висловлення І відповідає формулі А ~ С,висловлення II — формулі D ~ В. Будемо вважати, що атоми А і С істинні, а атоми В і D — хибні, і визначимо істиннісні значення складних висловлень:

А ~ С = І ~ І = І; D ~ B = X~X = I.

Прочитання формул складних висловлень може бути неоднозначним, якщо не ввести дужки, що вказують, в якому порядку зв'язуються між собою символи. Деякі дужки можна опустити, увівши послідовність виконання або пріоритет операцій таким же чином, як для операцій алгебри логіки:

Наприклад, такі вирази бездужок дорівнюють формулам з дужками:

А ® В Ù С = А ® (В Ù С);

С ~ А Ù В ® С = С ~ ((А Ù В) ® С).

Будь-якій формулі логіки висловлень можна поставити у відповідність деяке складне висловлення природної мови і навпаки, «правильні» складні речення можна записати у вигляді формули логіки висловлень. Аналіз складного речення необхідно починати з визначення такого факту: чи є воно скороченим варіантом більш розповсюдженого складного речення? Скорочений варіант слід замінити повним варіантом речення. Далі виділити прості речення та взяти їх в дужки, залишаючи поза дужками службові слова, що поєднають прості речення. Процес взяття у дужки повторюється доти, доки цілком усе складне речення не виявиться взятим у дужки. Після цього сполучники та звороти природної мови замінюються відповідними логічними зв'язками, а прості речення — атомарними формулами.

Приклад.Записати у вигляді формули логіки висловлень таке речення: «Оскільки я ліг пізно спати, я проспав і через це не пішов на пару».

Розв'язок. Виділимо прості речення у цьому складному реченні та візьмемо їх у дужки, залишаючи службові слова поза їх межами:

«(Оскільки (я ліг пізно спати), (я проспав)) і через це не (пішов на пару)».

Всі три речення зв'язані службовими словами, що виражають логічні відношення. Крім цього, перед третім простим реченням стоїть частка «не», що відповідає логічній операції «заперечення». Третє просте речення не є повним, оскільки розділяє спільний підмет «я» з другим простим реченням. Доповнимо третє речення відсутнім підметом і введемо атоми Р, Q, S таким чином:

Р — «Я ліг пізно спати»;

Q— «Я проспав»;

S — «Я пішов на пару».

Замінимо прості речення символами атомів, а службові слова — логічними зв'язками, одержимо формулу логіки висловлень:

(Р ® Q) ® ØS.

Приклад. Побудувати формулу і таблицю істинності для висловлень: «Якщо студент не підготувався до іспиту або йому попався складний білет, то він не складе іспит на позитивну оцінку». Визначити, в яких випадках це висловлення виявиться хибним.

Розв'язок. Виділимо прості висловлення і послідовність їх поєднання службовими словами за допомогою дужок: «Якщо ((студент не підготувався до іспиту) або (йому попався складний білет)), то (він не складе іспит на позитивну оцінку)». Позначимо атоми:

А— «Студент підготувався до іспиту»;

В— «Студенту попався складний білет»;

С— «Студент складе іспит на позитивну оцінку».

Одержана формула має вигляд: (ØА Ú В) ® ØС.

Побудуємо відповідну таблицю істинності (таблиця 5.4).

Таблиця 5.4. Таблиця істинності (ØА Ú В) ® ØС

З таблиці ми бачимо, що існують три інтерпретації: (X, X, І), (X, І, І), (І, І, І), на яких вихідне твердження виявляється хибним. Інтерпретація (X, X, І),означає, що студент не підготувався до іспиту, але одержав нескладний білет, і йому вдалося скласти іспит на позитивну оцінку. У випадку (І, І, І) студенту попався важкий білет, але він підготовлений до цього іспиту і склав іспит на позитивну оцінку. В інтерпретації (X, І, І) студент не підготувався до іспиту, йому попався важкий білет, але він все одно склав іспит на позитивну оцінку.

Виходячи з прийнятих формул логіки висловлень істиннісних значень, формули розділяються на тотожно істинні, тотожно хибні та незагальнозначущі.

Читайте також:

1. I визначення впливу окремих факторів
2. II. Визначення мети запровадження конкретної ВЕЗ з ураху­ванням її виду.
3. II. Мотивація навчальної діяльності. Визначення теми і мети уроку
4. Ocнoвнi визначення здоров'я
5. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
6. Аналіз службового призначення деталей та конструктивних елементів обладнання харчових виробництві, визначення технічних вимог і норм точності при їх виготовленні
7. Аналіз стратегічних альтернатив та визначення оптимальної стратегії формування фінансових ресурсів
8. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
9. Балансова теорія визначення статі. Диференціація статі і роль гормонів у цьому процесі.
10. Безстатеве розмноження, його визначення та загальна характеристика. Спори — клітини безстатевого розмноження, способи утворення і типи спор.
11. Біостратиграфічні методи визначення віку порід
12. Біуретовий метод визначення білків

Переглядів: 753