• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Властивості визначників

Сформулюємо основні властивості визначників, які справедливі для визначників всіх порядків. Деякі з них пояснимо на визначниках 3-го порядку.

1.Визначник матриці, транспонованої до даної, рівний визначнику даної матриці:

Дійсно,

.

2.Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) рівні нулю, то визначник рівний нулю:

Дійсно,

3.Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника:

.

4. При перестановці двох рядків (стовпчиків) визначник міняє знак:

.

5. Якщо визначник має два однакові рядки (стовпчики), то він рівний нулю.

Дійсно, міняючи місцями однакові рядки (стовпчики) і враховуючи властивість 4, отримаємо .

6. Якщо визначник має два пропорційні рядки (стовпчики), то він рівний нулю.

Дійсно, якщо винести коефіцієнт пропорційності за знак визначника, то отримаємо визначник з двома однаковими рядками (стовпчиками).

7. Визначник, у якого кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сумою двох доданків, рівний сумі двох визначників, у першого з яких у вказаному рядку (стовпчику) стоять перші доданки, а в другому – другі доданки, інші рядки (стовпчики) у всіх визначників однакові:

.

8. Якщо матриця В отримана з матриці А додаванням до деякого рядка (стовпчика) іншого рядка (стовпчика), помноженого на число , то .

Ця властивість випливає з властивостей 6, 7.

Подальші властивості визначників пов’язані з поняттями мінору та алгебраїчного доповнення.

Мінором елемента матриці -го порядку називається визначник п-1-го порядку, отриманий з початкового шляхом викреслювання -го рядка і -го стовпчика (на перетині яких знаходиться вибраний елемент). Позначається .

Так, наприклад, якщо , то

; .

Алгебраїчним доповненням елемента квадратноїматриці називається число

,

тобто його мінор, взятий із знаком , якщо сума – парне число, та із знаком , якщо сума непарна.

Так, наприклад, , .

9. Розклад визначника за елементами деякого рядка або стовпчика. Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на алгебраїчні доповнення цих елементів:

…+,

де і – номер фіксованого рядка, , або

…+,

де – номер фіксованого стовпчика, .

Проілюструємо і доведемо властивість 9 на прикладі визначника 3-го порядку. Так розклад за елементами 1-го рядка має вигляд

=

.

10. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпчика) рівна нулю.

Так, наприклад, якщо , то

11. Визначник трикутної матриці (або визначник трикутного вигляду) дорівнює добутку елементів її головної діагоналі:

.

Дійсно, розкладаючи визначник за елементами 1-го стовпчика, отримаємо

.

Отриманий визначник знову розкладемо за елементами 1-го стовпчика:

.

Продовжуючи цей процес, отримаємо .

Аналогічно можна показати, що

.

Властивість 9 – розклад визначника за елементами деякого рядка або стовпчика – дозволяє звести обчислення визначників -го порядку до обчислення визначників -го порядку.

Використовуючи властивості визначників, можна перетворити визначник -го порядку так, щоб всі елементи деякого рядка або стовпця, крім можливо одного, дорівнювали нулю. Таким чином, обчислення визначника -го порядку, якщо він відмінний від нуля, зводиться до обчислення визначника -го порядку.

Приклад 2.3.Обчислити визначник матриці

,

розклавши його за елементами деякого рядка або стовпчика.

Розв’язок. Для розкладу визначника зазвичай вибирають той рядок або стовпчик, де є нульові елементи, так як відповідні їм доданки в розкладі будуть рівні нулю, тому розкладемо визначник за елементами 1-го рядка:

. t

Приклад 2.4.Обчислити визначник матриці

,

використовуючи властивості визначників.

Розв’язок. Приведемо визначник до трикутного вигляду:

Теоретичні питання

2.1. Що називається визначником матриці 1-го порядку?

2.2. Що називається визначником матриці 2-го порядку?

2.3. Що називається визначником матриці 3-го порядку?

2.4. Які основні властивості визначників?

2.5. Що називається мінором елементаматриці -го порядку?

2.6. Що називається алгебраїчним доповненням елементаматриці -го порядку?

2.7. Які є методи обчислення визначників -го порядку?

Задачі та вправи

2.1. Обчислити визначники:

а) ; б).

2.2. Обчислити визначники, використовуючи властивості визначників:

а) ; б) ; в) .

2.3. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці

.

2.4. Обчислити визначник

трьома способами:

а) за означенням (правило трикутника);

б) розклавши за елементами рядка або стовпчика;

в) звівши за допомогою властивостей до трикутного вигляду.

2.5. Обчислити визначник:

.

Розв’язок. Використовуючи властивості визначників, зведемо обчислення визначника 4-го порядку до обчислення визначника 3-го порядку:

. t

Читайте також:

1. Аеродинамічні властивості колісної машини
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Аналізатори людини та їхні властивості.
4. Атрибутивні ознаки і властивості культури
5. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
6. Біосфера Землі, її характерні властивості
7. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
8. Будова і властивості аналізаторів
9. Векторний добуток і його властивості.
10. Види і властивості радіоактивних випромінювань
11. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
12. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

Переглядів: 3852