• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 2. Множини, відношення, функції, операції

Завдання моделювання

1. Задача аналізу – знайти функціональні залежності між станом, вхідними, вихідними, керованими і некерованими змінними

Y = F(S, X, x)

2. Задача оптимізації – знаходження екстремуму

extr Y = F(S*, X, x)

3. Задача оптимального управління – знайти екстремальне значення вихідних параметрів, коли фіксований стан, а впливати можемо на вхідні дії.

extr Y = F(S,X*, x)

Класифікація математичних моделей за ознаками;

1. Поведінка моделей в часі :

- динамічні;

- статистичні;

- квазістатичні.

Динамічні – математичні моделі об’єктів, параметри яких змінюються у часі. Змінюється в часі стан системи ,його параметри і характеристики.

Статичні – математичні моделі для яких параметри або стан є фіксовані.

Квазістатичні – в результаті розподілу динамічних задач на статичні.

Параметри на окремому проміжку часу не змінюються.

2. Залежить від обсягу інформації про параметри і змінні:

- детерміновані моделі;

- стохастичні моделі;

Детермінована модель – математична модель, коли відомі конкретні значення параметрів( з певною точністю).

Стохастичні – для аналізу стохастичних моделей коли невідомі точні значення параметрів, а відома тільки ймовірність цих значень (використовують теорію ймовірності).

3. За характером операцій, з врахуванням взаємодії факторів моделі:

- лінійні

- нелінійні.

4. За типом математичних алгоритмів:

- рівняння і нерівності (алгебраїчні, диференційні, інтегральні, комбіновані)

Алгебраїчні рівняння – в яких змінна входить в математичний вираз в певній степені і використовуються математичні оператори ( сума, ділення, відношення, добуток)

Диференційні рівняння – в яких використовуються не лише значення функцій і аргументів, а й похідні.

Інтегральні рівняння - в яких використовуються крім функцій і аргументів ще й інтеграли цих функцій.

Для моделювання дискретних систем використовуються:

- теорія графів;

- алгебру логіки;

- теорія автоматів;

- математичне програмування.

Для моделювання стохастичних систем використовують:

- теорія ймовірностей;

- математична статистика;

- теорія планування експерименту;

- теорія ігор;

- задачі масового обслуговування.

Для моделювання інформаційних процесів використовують:

- математичний апарат теорії інформації.

Поняття множини - одне з основних понять математики. Воно не має точного означення, і його слід віднести до аксіоматичних понять.

Множина - сукупність елементів, що мають певні властивості і знаходяться в деяких відношеннях між собою або з елементами інших множин.

Відношення - будь-який зв’язок між предметами або поняттями, тобто елементами множини.

Множина - важливе поняття, як об’єднання елементів в єдине ціле.

Множина, до складу якої входить скінчена кількість елементів називається скінченою.

Множина, до складу якої входить нескінченна кількість елементів називається нескінченною.

Характеристики скінченої множини:

-множина, яка містить тільки один елемент називається одиничною множиною;

-множина, яка не містить елементів, називається порожньою множиною. Вона відіграє ту ж саму функцію, як і «Æ» в алгебрі та арифметиці.

Способи задання множин

I. Скінченні множини задаються переліком своїх елементів.

Множина позначається великою латинською літерою (чи інших алфавітів).Елементи множин позначаються малою літерою.

A={a, b, c, d} - це різні об’єкти, різні предмети, яким відповідають ці літери.

íý - позначають множину.

Щоб показати належність до множини, вводиться відношення належності - “Δ:

aÎA; bÎB; fÏА;

«É»- виключає: A É a; A É b; A Ë f .

Найчастіше для скінчених множин, які мають об’єкти однієї природи вводять позначення і множини, і елементів однією і тією ж самою літерою. Тоді елементи відрізняються за індексами:

X={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}

наприклад X - множина країн Європи.

Для узагальнення , часто, коли потрібно подати, що в множині є n елементів записують:

X={x₁, x₂, x₃, x₄,...., x_n}.

II. Множини можуть задаватися: через вказання властивостей, якими володіють елементи множини:

X={x_i /p(x)} - це множина елементів x_i, які володіють властивостями P(x)

тобто функція, висловлювання.

Наприклад:

У={у_і / держави Балтії}

Множина А, всі елементи якої належать і множині В, називається підмножиною множини В.

Це відношення між множинами А і В називається включенням підмножини:

А={a,b,c}

B={a,b,c,d,e,f}

Множина А є підмножиною множини В (рис.7).

А Ì В - включення підмножини, BÉA-множина В включає підмножину А.

А={a, b, c} Множини А і С тотожні

С ={c, a, b} А = С (рівні)

Множина А є підмножиною С, а множина С є підмножиною А.

А Ê С, С Í А

Будь-яка не порожня множина А має щонайменше 2-ві підмножини: тотожну їй і порожню множини ( АÊА , АÉ{Æ} ). Порожня множина не містить елементів. Отже, додаючи до множини А порожню множину, ми фактично нічого не додаємо. Тому завжди можна вважати, що будь-яка множина А містить порожню множину як підмножину.

Універсум U. Сукупність допустимих об’єктів зафіксувати явно та вважати, що множини, які розглядаються, складаються х елементів цієї сукупності. Її називають основною множиною (універсумом) і позначається “U ”.

Універсум U арифметики - числа, універсум U міжнародних відносин - країни і т.д.

Будь-яку множину розглядатимемо у зв’язку з універсумом, який на колах Ейлера асоціюватимемо з прямокутником на площині, всередині якого зображатимемо множини.

Нова операція U - A = (абсолютне доповнення А) - це множина, що містить усі елементи універсуму, за винятком елементів А (рис.6).

Операції над множинами.

Введемо символи Û, $x, "x, Þ,які надалі будуть служити для скорочення виразів «тоді і тільки тоді, коли», «існує х такий, що», «для всякого х» і «слідує» або «випливає» відповідно.

1. Об’єднання множин

Об’єднанням множин А і В є множина С, елементи якої належать або множині А, або множині В.

Операція об’єднання позначається ”È, В={b, c, d, l}, А ={a, b, c}, з відси

C=AÈB={a, b, c, d , l}.

2. Перетином множин А і В є така множина С, елементи якої належать одночасно і А і В. Перетин позначається “Ç”, С = АÇВ = {b, c}.

Множини, які не мають спільних елементів називаються неперетинними D={f, k} Þ DÇA={Æ}.

3. Різниця множин

Різницею множин А і В є множина С, елементи якої складаються з усіх А, які не входять до В. Позначається “\” або ”-”

С=А\В={a} або C=A-B={a}. Якщо С=В\А={d, l}.

4. Диз’юнктивна сума.

Диз’юнктивна сума множин А і В є множина С, елементи якої належать або множині А, або множині В, але не обом разом. Позначається «+», «Å»

C=AÅB={a,, d, e}.

5. Декартовий добуток.

Декартовий добуток множин А і В - множина С, яка складається з двоелементних підмножин, в яких 1-й елемент належить множині А, а 2-й –належить множині В. Позначається - “х” або “Ä”

C=AÄB=í{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,b},{b,c},{b,d},{b,c},{c,c},{c,d},{c,e}ý.

Властивості операцій над множинами.

Таблиця 1

Об’єднання	Перетин
Комутативний закон
AÈB=BÈA	AÇB=BÇA
Асоціативний закон
AÈBÈC=(AÈB)ÈC==AÈ(BÈC)= BÈ(AÈC)	AÇBÇC=(AÇB)ÇC==AÇ(BÇC)= BÇ(AÇC)
Дистрибутивний (розподільчий) закон
AÈ(BÇC)= =(AÈB)Ç(AÈC)	AÇ(BÈC)= =(AÇB)È(AÇC)
Властивості Æ та U
AÈÆ = A	AÇÆ = Æ
AÈU = U	AÇU = A
AÈ=U	AÇ=Æ
Закон ідемпотентності (самопоглинання)
А È А =А	А Ç А = А
Закон поглинання
А È (А Ç В) = А	А Ç (А È В) = А
Теорема де Моргана
=	=
Властивості доповнення, різниці та рівності
A - B=A A Å B=B Å A A A= B Û (AÇ

Читайте також:

1. Активні операції банків
2. Активні операції комерційних банків
3. Алгебраїчні операції
4. Арифметичні операції
5. Арифметичні операції в різних системах числення
6. Арифметичні операції над цілими числами
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банк і його операції. Правова природа банківської діяльності
10. Бартерні операції
11. Біржові операції.
12. Біржові операції. Котирування цін на біржі

Переглядів: 1540