• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні властивості визначників.

Визначник матриці не змінює свого значення при взаємній заміні її рядків та стовпців. Тому всі властивості, які будуть сформульовані для стовпців справедливі і для рядків, і зворотно. Приведемо основні властивості визначників.

1. Рівноправність рядків та стовпців визначника.

При транспонуванні матриці її визначник не змінюється, тобто

det A= det А^t

Можемо сказати, що det А^t містить суму тих же членів, що й det A, тільки запис таких членів має інший порядок. Різниця полягає в тому, що для det A впорядкований запис здійснюється за першим індексом, а для det А^t - за другим.

Отже, рядки та стовпчики визначника рівноправні. У зв’язку з цим, якщо деяке твердження справедливе для стовпців визначника, то воно буде справедливим і для його рядків.

2. Якщо усі елементи будь-якого стовпця(рядка) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

det А= 0a₂₂a₃₃ + 0a₂₃a₃₁ + 0a₂₁a₃₂ -

- 0a₂₂a₃₁ - 0a₂₃a₃₂ - 0a₂₁a₃₃ = 0.

3. Визначник, що містить два однакових рядки чи стовпці, дорівнює нулю.

Приклад. Обчислити визначник.

det A = (4×2× 4) + (1× 2×3) + (5× 0 ×1)

- (1× 0 ×4) - (4 ×2 ×1 ) - ( 5 ×2× 3) = 0.

4. Визначник, що містить два однакових рядки чи стовпці, дорівнюють нулю.

Приклад. Обчислити визначник.

det A = (1×2× 4) + (1× 2×1) + (5× 2 ×1) -

- (1× 2 ×4) - (1 ×2 ×1 ) - ( 5 ×2× 1) = 0.

5. Властивість антисиметрії визначника.

При перестановці двох стовпців(рядків) визначника його абсолютна величина не змінюється, а змінюється знак на протилежний.

det A = .

det A₁ = = a₁₂a₂₁ - a₁₁a₂₂ = - (a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁) = - det A.

6. Множення усіх елементів якого-небудь стовпця на скаляр l рівнозначно множенню визначника на скаляр l (загальний множник елементів стовпця або рядка можна виносити за знак визначника).

Приклад. Обчислити визначник.

l =2

det A = (4× 4× 4) + (2× 2×3) + (3× 0 ×2) - (3× 4 ×3) -

- (4 ×2 ×2 ) - ( 2 ×0 ×4) = 24 = 2 × (12)

7. Множення матриці n-го порядку на скаляр l відповідає множенню її визначника на скаляр lⁿ, тобто

det (l A) = lⁿ det A

Приклад. Обчислити визначник.

l = 2

det A = (8××4× 8) + (2× 4×6) + (6× 0 ×2) - (6× 4 ×6) -

- (8 ×4 ×2 ) - ( 2 ×0 ×8) = 72 = 2³ × 12 .

8. Значення визначника не зміниться, якщо до будь-якого стовпця (або рядка) додати другий стовпець (рядок) помножений на скаляр l.

Приклад. Обчислити визначник.

l = 2

det A = =

= (6×2× 4) + (1× 2×5) + (3× 4 ×1) - (3× 2 ×5) - (6 ×2 ×1 ) - ( 1 ×4× 4) = 12.

9. Якщо два визначника однакових порядків відрізняються тільки

елементами j-го стовпця, то їх сума дорівнює визначнику, елементи

j-го стовпця якого дорівнюють сумам відповідних елементів j-х стовпців вихідних визначників, а інші елементи ті самі, що у вихідних (властивість лінійності).

17.

Читайте також:

1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
3. Аеродинамічні властивості колісної машини
4. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
5. Аналізатори людини та їхні властивості.
6. Аналізатори людини та їхні властивості.
7. Артеріальний пульс, основні параметри
8. Атрибутивні ознаки і властивості культури
9. Банківська система та її основні функції
10. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
11. Біосфера Землі, її характерні властивості
12. Біржові товари і основні види товарних бірж. Принципи товарних бірж.

Переглядів: 1981