Розглянемо систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь співпадає з числом невідомих
Для систем з квадратною матрицею коефіцієнтів справедлива наведена нижче теорема.
Теорема. Якщо визначник матриці коефіцієнтів системи D = det A відмінний від нуля (тобто r(A) = n), то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами
,
де Dj - допоміжний визначник, який отримується з визначника D шляхом заміни j -го стовпця стовпцем вільних членів, (j = ).
Доведення.
Оскільки D ¹ 0, то матриця коефіцієнтів системи А невироджена і має обернену А-1, причому матриця А-1 буде єдиною.
Ліву та праву частину системи
А × Х = В
помножимо на А-1 зліва. Тоді отримаємо
А-1 × А × Х = А-1 × В,
Е × Х = А-1 × В,
Х = А-1 × В.
Останню рівність запишемо в координатній формі
.
Зауважимо, що співвідношення b1A1j + b2A2j + ...+ bnAnj є нічим іншим, як розкладанням визначника Dj за елементами j-го стовпця.