Метод (правило) Крамера

Розглянемо систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь співпадає з числом невідомих

Для систем з квадратною матрицею коефіцієнтів справедлива наведена нижче теорема.

Теорема. Якщо визначник матриці коефіцієнтів системи D = det A відмінний від нуля (тобто r(A) = n), то система сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами

де D_j - допоміжний визначник, який отримується з визначника D шляхом заміни j -го стовпця стовпцем вільних членів, (j = ).

Доведення.

Оскільки D ¹ 0, то матриця коефіцієнтів системи А невироджена і має обернену А^-1, причому матриця А^-1 буде єдиною.

Ліву та праву частину системи

А × Х = В

помножимо на А^-1 зліва. Тоді отримаємо

А^-1 × А × Х = А^-1 × В,

Е × Х = А^-1 × В,

Х = А^-1 × В.

Останню рівність запишемо в координатній формі

Зауважимо, що співвідношення b₁A_1j + b₂A_2j + ...+ b_nA_nj є нічим іншим, як розкладанням визначника D_j за елементами j-го стовпця.

Таким чином,

, (j = )

є єдиним розв’язком вихідної системи рівнянь.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Та методи їх розв’язання.	\|	Метод послідовного виключення невідомих або метод Гауса.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.133 сек.