• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Мішаний добуток трьох векторів.

Означення 7. Мішаним добутком впорядкованої трійки векторів називається число, рівне .

Якщо кут між векторами та позначити , а кут між векторним добутком та вектором – , то значення мішаного добутку можна обрахувати наступним чином: (7)

Властивості мішаного добутку векторів.

1. Мішаний добуток правої трійки векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Це очевидно (див. мал.), оскільки площа основи такого паралелепіпеда рівна , а висота рівна . Отже, . Проте, у випадку лівої трійки векторів кут виявиться тупим і для визначення об’єму паралелепіпеда треба використовувати модуль мішаного добутку . Крім того, очевидно, що знак мішаного добутку визначає орієнтацію трійки векторів: якщо , то трійка векторів права, інакше трійка ліва. Якщо ж вектори компланарні, тобто паралельні одній площині, то висота такого «паралелепіпеда» рівна 0, отже нулю рівний і його об’єм.
2. (8)

Дійсно, площу паралелограма можна визначити, взявши за основу іншу грань, наприклад, утворену векторами та . Тоді маємо . А оскільки орієнтація трійки така сама, як і трійки , то таким чином, бачимо, що у мішаному добутку векторів не має значення, до якої пари множників і чи і застосовувати векторне множення. Власне тому мішаний добуток просто позначають , оскільки важливим виявляється лише порядок множників.

1. (9)

Дана властивість легко випливає із узагальнення властивості 2 та антикомутативності векторного добутку.

1. тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Достатність цього твердження була обґрунтована при доведенні першої властивості, тому доведемо тут необхідність. Отже, нехай . Якщо принаймні один з множників є нуль-вектором, то трійка напевне компланарна, тому далі вважатимемо, що всі вектори-множникі ненульові. У такому випадку із формули (7) випливає, що кут – це означає компланарність векторів, або ж кут . В цьому разі вектори і колінеарні, що також означає компланарність векторів .

Дана властивість є наслідком відповідних властивостей скалярного та векторного добутків.

– дистрибутивність мішаного добутку. Очевидно, що доведення потребує дистрибутивність лише відносно одного з множників, на інші множники вона перенесеться автоматично завдяки властивості 3. Отже, розглянемо

Скористаємось доведеною дистрибутивністю скалярного добутку:

– що й треба було довести.

Повернемось тепер до доведення дистрибутивності векторного добутку. Розглянемо вектор

. Його координати – це проекції цього вектора на відповідні орти ПДСК, тому

Отже маємо рівність координат . Аналогічно доводиться і рівність двох інших координат векторних добутків та . Тим самим рівність повністю доведено.

Знайдемо тепер вираз мішаного добутку через координати векторів-множників. Розглянемо вектори , та . Визначимо їх мішаний добуток.

Оскільки , а , то . Остаточно одержуємо формулу

(10)

Зауваження. З формули (10) та властивості 3 мішаного добутку випливає, що визначник матриці розмірності 3 не зміниться при циклічній перестановці рядків і змінить знак на протилежний при перестановці двох рядків.

Приклади.

6. Знайдемо об’єм тетраедра з вершинами .

Даний тетраедр утворений векторами . Оскільки орієнтація цієї трійки нам невідома, об’єм тетраедра визначатимемо як модуля мішаного добутку векторів :

Читайте також:

1. Векторний добуток векторів
2. Векторний добуток векторів.
3. Векторний добуток і його властивості.
4. Види трьохшарнірних систем
5. Визначення опорних реакцій трьохшарнірної арки
6. Вираження мішаного добутку через координати векторів.
7. Вуглевидобуток в Україні та перспективи його розвитку
8. Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів.
9. Де - місячний видобуток руди у кар’єрі, млн.т.
10. Декартів добуток
11. Дисоціація води. Йонний добуток води
12. Дисоціація води. Йонний добуток води.

Переглядів: 1382