• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Мішаний добуток трьох векторів.

Означення 7. Мішаним добутком впорядкованої трійки векторів називається число, рівне .

Якщо кут між векторами та позначити , а кут між векторним добутком та вектором – , то значення мішаного добутку можна обрахувати наступним чином: (7)

Властивості мішаного добутку векторів.

1. Мішаний добуток правої трійки векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Це очевидно (див. мал.), оскільки площа основи такого паралелепіпеда рівна , а висота рівна . Отже, . Проте, у випадку лівої трійки векторів кут виявиться тупим і для визначення об’єму паралелепіпеда треба використовувати модуль мішаного добутку . Крім того, очевидно, що знак мішаного добутку визначає орієнтацію трійки векторів: якщо , то трійка векторів права, інакше трійка ліва. Якщо ж вектори компланарні, тобто паралельні одній площині, то висота такого «паралелепіпеда» рівна 0, отже нулю рівний і його об’єм.
2. (8)

Дійсно, площу паралелограма можна визначити, взявши за основу іншу грань, наприклад, утворену векторами та . Тоді маємо . А оскільки орієнтація трійки така сама, як і трійки , то таким чином, бачимо, що у мішаному добутку векторів не має значення, до якої пари множників і чи і застосовувати векторне множення. Власне тому мішаний добуток просто позначають , оскільки важливим виявляється лише порядок множників.

1. (9)

Дана властивість легко випливає із узагальнення властивості 2 та антикомутативності векторного добутку.

1. тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Достатність цього твердження була обґрунтована при доведенні першої властивості, тому доведемо тут необхідність. Отже, нехай . Якщо принаймні один з множників є нуль-вектором, то трійка напевне компланарна, тому далі вважатимемо, що всі вектори-множникі ненульові. У такому випадку із формули (7) випливає, що кут – це означає компланарність векторів, або ж кут . В цьому разі вектори і колінеарні, що також означає компланарність векторів .

Дана властивість є наслідком відповідних властивостей скалярного та векторного добутків.

– дистрибутивність мішаного добутку. Очевидно, що доведення потребує дистрибутивність лише відносно одного з множників, на інші множники вона перенесеться автоматично завдяки властивості 3. Отже, розглянемо

Скористаємось доведеною дистрибутивністю скалярного добутку:

– що й треба було довести.

Повернемось тепер до доведення дистрибутивності векторного добутку. Розглянемо вектор

. Його координати – це проекції цього вектора на відповідні орти ПДСК, тому

Отже маємо рівність координат . Аналогічно доводиться і рівність двох інших координат векторних добутків та . Тим самим рівність повністю доведено.

Знайдемо тепер вираз мішаного добутку через координати векторів-множників. Розглянемо вектори , та . Визначимо їх мішаний добуток.

Оскільки , а , то . Остаточно одержуємо формулу

(10)

Зауваження. З формули (10) та властивості 3 мішаного добутку випливає, що визначник матриці розмірності 3 не зміниться при циклічній перестановці рядків і змінить знак на протилежний при перестановці двох рядків.

Приклади.

6. Знайдемо об’єм тетраедра з вершинами .

Даний тетраедр утворений векторами . Оскільки орієнтація цієї трійки нам невідома, об’єм тетраедра визначатимемо як модуля мішаного добутку векторів :

Читайте також:

1. Векторний добуток векторів
2. Векторний добуток векторів.
3. Векторний добуток і його властивості.
4. Види трьохшарнірних систем
5. Визначення опорних реакцій трьохшарнірної арки
6. Вираження мішаного добутку через координати векторів.
7. Вуглевидобуток в Україні та перспективи його розвитку
8. Геометричне тлумачення мішаного добутку векторів.
9. Де - місячний видобуток руди у кар’єрі, млн.т.
10. Декартів добуток
11. Дисоціація води. Йонний добуток води
12. Дисоціація води. Йонний добуток води.

Переглядів: 1309