Основні алгебраїчні структури

а)Група

Непорожня множина із визначеною в ній бінарною операцією , називається групоїдом. Групоїд, в якому визначена асоціативна операція, називається півгрупою. Півгрупа, в якій існує одиничний (нейтральний) елемент, називається моноїдом. Одиничний елемент позначають е: для будь-якого gG [ge = eg = g]. Моноїд, кожен елемент якого оборотний, називається групою. Оборотнимназивається такий елемент множини, для якого в цій множині існує обернений. Оберненимдо елемента gG називається такий елемент g^-1 цієї ж множини, для якого gg^-1= g^-1g = e.

Повне означення групи.

Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою,якщо виконуються наступні умови:

1) операція асоціативна;

2) в множині G існує одиничний елемент ;

3) кожний елемент gG множини G оборотний.

Якщо операція , визначена в групі, є комутативною, то група G називається комутативноюабо абелевою.

Група G називається скінченною, якщо кількість її елементів (порядок групи) скінченна.

Приклади.

1. Множини цілих, раціональних, дійсних чисел відносно додавання: (Z,+), (Q,+), (R,+).

2. Множини всіх додатніх раціональних, дійсних чисел відносно множення : (Q₊,•), (R₊,•).

3. Сукупність чисел 1 та –1 утворюють групу за множенням: ({1;-1},•).

4. Множина всіх підстановок n-го степеня відносно операції множення (симетрична група, позначають S_n).

5. Множина всіх парних підстановок n-го степеня відносно множення (знакозмінна група, позначають А_n).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Узагальнення другої форми принципу математичної індукції	\|	Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.