Непорожня множина із визначеною в ній бінарною операцією , називається групоїдом. Групоїд, в якому визначена асоціативна операція, називається півгрупою. Півгрупа, в якій існує одиничний (нейтральний) елемент, називається моноїдом. Одиничний елемент позначають е: для будь-якого gG [ge = eg = g]. Моноїд, кожен елемент якого оборотний, називається групою. Оборотнимназивається такий елемент множини, для якого в цій множині існує обернений. Оберненимдо елемента gG називається такий елемент g-1 цієї ж множини, для якого gg-1= g-1g = e.
Повне означення групи.
Непорожня множина G, на якій визначено бінарну операцію , називається групою,якщо виконуються наступні умови:
1) операція асоціативна;
2) в множині G існує одиничний елемент ;
3) кожний елемент gG множини G оборотний.
Якщо операція , визначена в групі, є комутативною, то група G називається комутативноюабо абелевою.
Група G називається скінченною, якщо кількість її елементів (порядок групи) скінченна.
Приклади.
1. Множини цілих, раціональних, дійсних чисел відносно додавання: (Z,+), (Q,+), (R,+).
2. Множини всіх додатніх раціональних, дійсних чисел відносно множення : (Q+,•), (R+,•).
3. Сукупність чисел 1 та –1 утворюють групу за множенням: ({1;-1},•).
4. Множина всіх підстановок n-го степеня відносно операції множення (симетрична група, позначають Sn).
5. Множина всіх парних підстановок n-го степеня відносно множення (знакозмінна група, позначають Аn).