• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.

Групу за додаванням називають адитивною,за множенням – мультиплікативною.

Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає:

1) чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g₁ та g₂ і результат операції між ними, тобто елемент g₁g₂;

2) чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g^-1.

Теорема (про перетин підгруп).

Якщо Н₁ і Н₂ – підгрупи групи G, то їх перетин Н₁Н₂ теж є підгрупою групи G.

Доведення.

Якщо елементи a i b належать перетину Н₁Н₂, то вони містяться в кожній з підгруп Н₁ та Н₂, тому елементи ab та a^-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н₁Н₂ – теж підгрупа групи G.▲

Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>.

Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел – нескінченна циклічна група з твірним елементом 1 (можна –1).

2. Група за множенням, що складається з 1 та –1, є циклічною групою 2-го порядку з твірним елементом –1.

Ізоморфізм груп

Групи G i G₁ називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що коли будь-яким елементам a,bG відповідають елементи a₁,b₁G₁, то результату операції ab між елементами групи G відповідає результат операції a₁b₁ між елементами групи G₁.

Тут – позначення операції в групі G, – в групі G₁.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел (відображення k2k, kєZ). (Z,+)({2k, kєZ},+).

2. Мультиплікативна група R₊ додатних дійсних чисел ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел. (R₊,•)(R,+).

При ізоморфному відображенні груп G та G₁:

1) одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G₁;

2) будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g^-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G₁.

б)Кільце

Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1) множина К є адитивною абелевою групою;

2) множина К є мультиплікативною півгрупою;

3) операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb].

Позначається (К,+, •).

Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна.

Приклади.

1. (Z,+, •), (Q,+, •), (R,+, •).

2. ({2k, kєZ},+,•).

Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.

Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аθ, bθ,

але ab = θ. θ – нульовий елемент кільця.

Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності).

Підмножина К₁ кільця К називається підкільцемкільця К, якщо К₁ є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.

Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К₁ належить до К₁.

Приклади.

1. Кільце парних чисел – підкільце кільця цілих чисел.

2. Кільце цілих чисел – підкільце кільця раціональних чисел.

3. Кільце раціональних чисел – підкільце кільця дійсних чисел.

Ізоморфізм кілець

Кільця К і К₁ називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,bК і відповідних їм елементів a₁,b₁К₁ сумі a+b відповідає сума a₁+b₁, добутку ab відповідає добуток a₁b₁.

в)Поле

Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, •).

Поле (Р,+, •) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},•).

Приклади.

1. (Q,+, •).

2. (R,+, •).

Ясно, що ніяке поле не має дільників нуля.

Характеристикою поля Р називають:

- число нуль, якщо ne=θ лише при n=0;

- натуральне число р, якщо pe = θ і немає такого кєN, меншого ніж р, що

ке = θ.

Ясно, що ненульова характеристика р поля Р є числом простим.

Підмножину Р₁ поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р₁.

Читайте також:

1. Алгоритми групи KWE
2. Алкени – вуглеводні, в молекулах яких є один подвійний зв’язок між атомами вуглецю . Алкені називають також олефінами або етиленовими вуглеводнями.
3. Алкіни – вуглеводні, в молекулах яких є два атоми вуглецю, сполучені потрійним зв’язком - -. Алкіни називають також ацетиленовими вуглеводнями.
4. Бюджетні установи отримують кошти на своє функціонування з бюджету виключно на основі фінансових документів, які називаються кошторисами.
5. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
6. Важливою ознакою класифікації є принцип побудови перетворювачів кодів, згідно з яким їх можна поділити на чотири групи.
7. ВАЛЮТНО-ФІНАНСОВІ ОПЕРАЦІЇ, ЩО ЗДІЙСНЮЮТЬСЯ НА НАЦІОНАЛЬНИХ, МІЖНАРОДНИХ І СВІТОВИХ ФІНАНСОВИХ РИНКАХ
8. Варіанти групи крові
9. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
10. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
11. Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
12. Використання моделі Хікса – Хансена для оцінки відносної ефективності бюджетно-податкової і кредитно-грошової політики

Переглядів: 909