• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.

Групу за додаванням називають адитивною,за множенням – мультиплікативною.

Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає:

1) чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g₁ та g₂ і результат операції між ними, тобто елемент g₁g₂;

2) чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g^-1.

Теорема (про перетин підгруп).

Якщо Н₁ і Н₂ – підгрупи групи G, то їх перетин Н₁Н₂ теж є підгрупою групи G.

Доведення.

Якщо елементи a i b належать перетину Н₁Н₂, то вони містяться в кожній з підгруп Н₁ та Н₂, тому елементи ab та a^-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н₁Н₂ – теж підгрупа групи G.▲

Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>.

Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел – нескінченна циклічна група з твірним елементом 1 (можна –1).

2. Група за множенням, що складається з 1 та –1, є циклічною групою 2-го порядку з твірним елементом –1.

Ізоморфізм груп

Групи G i G₁ називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що коли будь-яким елементам a,bG відповідають елементи a₁,b₁G₁, то результату операції ab між елементами групи G відповідає результат операції a₁b₁ між елементами групи G₁.

Тут – позначення операції в групі G, – в групі G₁.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел (відображення k2k, kєZ). (Z,+)({2k, kєZ},+).

2. Мультиплікативна група R₊ додатних дійсних чисел ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел. (R₊,•)(R,+).

При ізоморфному відображенні груп G та G₁:

1) одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G₁;

2) будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g^-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G₁.

б)Кільце

Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1) множина К є адитивною абелевою групою;

2) множина К є мультиплікативною півгрупою;

3) операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb].

Позначається (К,+, •).

Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна.

Приклади.

1. (Z,+, •), (Q,+, •), (R,+, •).

2. ({2k, kєZ},+,•).

Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.

Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аθ, bθ,

але ab = θ. θ – нульовий елемент кільця.

Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності).

Підмножина К₁ кільця К називається підкільцемкільця К, якщо К₁ є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.

Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К₁ належить до К₁.

Приклади.

1. Кільце парних чисел – підкільце кільця цілих чисел.

2. Кільце цілих чисел – підкільце кільця раціональних чисел.

3. Кільце раціональних чисел – підкільце кільця дійсних чисел.

Ізоморфізм кілець

Кільця К і К₁ називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,bК і відповідних їм елементів a₁,b₁К₁ сумі a+b відповідає сума a₁+b₁, добутку ab відповідає добуток a₁b₁.

в)Поле

Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, •).

Поле (Р,+, •) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},•).

Приклади.

1. (Q,+, •).

2. (R,+, •).

Ясно, що ніяке поле не має дільників нуля.

Характеристикою поля Р називають:

- число нуль, якщо ne=θ лише при n=0;

- натуральне число р, якщо pe = θ і немає такого кєN, меншого ніж р, що

ке = θ.

Ясно, що ненульова характеристика р поля Р є числом простим.

Підмножину Р₁ поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р₁.

Читайте також:

1. Алгоритми групи KWE
2. Алкени – вуглеводні, в молекулах яких є один подвійний зв’язок між атомами вуглецю . Алкені називають також олефінами або етиленовими вуглеводнями.
3. Алкіни – вуглеводні, в молекулах яких є два атоми вуглецю, сполучені потрійним зв’язком - -. Алкіни називають також ацетиленовими вуглеводнями.
4. Бюджетні установи отримують кошти на своє функціонування з бюджету виключно на основі фінансових документів, які називаються кошторисами.
5. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
6. Важливою ознакою класифікації є принцип побудови перетворювачів кодів, згідно з яким їх можна поділити на чотири групи.
7. ВАЛЮТНО-ФІНАНСОВІ ОПЕРАЦІЇ, ЩО ЗДІЙСНЮЮТЬСЯ НА НАЦІОНАЛЬНИХ, МІЖНАРОДНИХ І СВІТОВИХ ФІНАНСОВИХ РИНКАХ
8. Варіанти групи крові
9. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
10. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
11. Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
12. Використання моделі Хікса – Хансена для оцінки відносної ефективності бюджетно-податкової і кредитно-грошової політики

Переглядів: 841