Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Непорожню підмножину H групи G називають підгрупою цієї групи, якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в групі G.

Групу за додаванням називають адитивною,за множенням – мультиплікативною.

 

Перевірка того, чи непорожня підмножина Н групи G є підгрупою групи G, включає:

1) чи містить Н разом із будь-якими своїми елементами g1 та g2 і результат операції між ними, тобто елемент g1g2;

2) чи містить Н разом із будь-яким своїм елементом g і обернений йому елемент g-1.

Теорема (про перетин підгруп).

Якщо Н1 і Н2 – підгрупи групи G, то їх перетин Н1Н2 теж є підгрупою групи G.

Доведення.

Якщо елементи a i b належать перетину Н1Н2, то вони містяться в кожній з підгруп Н1 та Н2, тому елементи ab та a-1 теж містяться в кожній з підгруп, а тому і в їх перетині. Отже, Н1Н2 – теж підгрупа групи G.▲

Підгрупа, що складається з усіх степенів елемента gG, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом g. Позначається <g>.

Група G називається циклічною, якщо вона складається тільки зі степенів одного із своїх елементів g, тобто збігається з однією із своїх циклічних підгруп <g>. Елемент g називають твірним елементом циклічної групи <g>. Кожна циклічна група є абелевою.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел – нескінченна циклічна група з твірним елементом 1 (можна –1).

2. Група за множенням, що складається з 1 та –1, є циклічною групою 2-го порядку з твірним елементом –1.

Ізоморфізм груп

Групи G i G1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що коли будь-яким елементам a,bG відповідають елементи a1,b1G1, то результату операції ab між елементами групи G відповідає результат операції a1b1 між елементами групи G1.

Тут – позначення операції в групі G, – в групі G1.

Приклади.

1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел (відображення k2k, kєZ). (Z,+)({2k, kєZ},+).

2. Мультиплікативна група R+ додатних дійсних чисел ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел. (R+,•)(R,+).

 

При ізоморфному відображенні груп G та G1:

1) одиничний елемент групи G відображається в одиничний елемент групи G1;

2) будь-яка пара взаємнообернених елементів g та g-1 групи G відображається в пару взаємнообернених елементів групи G1.

б)Кільце

 

Непорожня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1) множина К є адитивною абелевою групою;

2) множина К є мультиплікативною півгрупою;

3) операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

a,b,cєK [(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb].

Позначається (К,+, •).

Кільце називають комутативним, якщо операція множення в кільці комутативна.

Приклади.

1. (Z,+, •), (Q,+, •), (R,+, •).

2. ({2k, kєZ},+,•).

Ненульове кільце, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.

Елементи а,b кільця К називаються дільниками нуля, якщо аθ, bθ,

але ab = θ. θ – нульовий елемент кільця.

Комутативне кільце з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається цілісним кільцем (областю цілісності).

Підмножина К1 кільця К називається підкільцемкільця К, якщо К1 є кільцем відносно операцій додавання і множення, визначених в кільці К.

Перевірка того, що дана підмножина кільця є його підкільцем, включає вияснення, чи різниця й добуток довільних двох елементів підмножини К1 належить до К1.

Приклади.

1. Кільце парних чисел – підкільце кільця цілих чисел.

2. Кільце цілих чисел – підкільце кільця раціональних чисел.

3. Кільце раціональних чисел – підкільце кільця дійсних чисел.

 

Ізоморфізм кілець

Кільця К і К1 називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність, що для будь-яких елементів a,bК і відповідних їм елементів a1,b1К1 сумі a+b відповідає сума a1+b1, добутку ab відповідає добуток a1b1.

 

в)Поле

Комутативне кільце з одиницею, в якому кожен ненульовий елемент є оборотним, називається полем. Позначають (Р,+, •).

Поле (Р,+, •) являє собою поєднання в тій самій множині Р двох абелевих груп – адитивної (Р,+) та мультиплікативної (Р\{0},•).

Приклади.

1. (Q,+, •).

2. (R,+, •).

Ясно, що ніяке поле не має дільників нуля.

Характеристикою поля Р називають:

- число нуль, якщо ne=θ лише при n=0;

- натуральне число р, якщо pe = θ і немає такого кєN, меншого ніж р, що

ке = θ.

Ясно, що ненульова характеристика р поля Р є числом простим.

Підмножину Р1 поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних операцій, визначених у полі Р. Поле Р при цьому називають розширенням поля Р1.

 

 


Читайте також:

  1. Алгоритми групи KWE
  2. Алкени – вуглеводні, в молекулах яких є один подвійний зв’язок між атомами вуглецю . Алкені називають також олефінами або етиленовими вуглеводнями.
  3. Алкіни – вуглеводні, в молекулах яких є два атоми вуглецю, сполучені потрійним зв’язком - -. Алкіни називають також ацетиленовими вуглеводнями.
  4. Бюджетні установи отримують кошти на своє функціонування з бюджету виключно на основі фінансових документів, які називаються кошторисами.
  5. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
  6. Важливою ознакою класифікації є принцип побудови перетворювачів кодів, згідно з яким їх можна поділити на чотири групи.
  7. ВАЛЮТНО-ФІНАНСОВІ ОПЕРАЦІЇ, ЩО ЗДІЙСНЮЮТЬСЯ НА НАЦІОНАЛЬНИХ, МІЖНАРОДНИХ І СВІТОВИХ ФІНАНСОВИХ РИНКАХ
  8. Варіанти групи крові
  9. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  10. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
  11. Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
  12. Використання моделі Хікса – Хансена для оцінки відносної ефективності бюджетно-податкової і кредитно-грошової політики




Переглядів: 902

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Основні алгебраїчні структури | Джерела енергії

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.003 сек.