• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Постановка завдання синтезу оптимального приймача

Оптимальний приймач дискретних повідомлень

Припустимо, що лінія зв'язку не вносить спотворень до форми сигналу, а лише ослабляє сигнали і додає перешкоду. Тоді на виході лінії (на вході приймача) на інтервалах часу , де - цілі числа, матимуть місце реалізації

(1)

Тут - один з можливих відомих сигналів в точці прийому, а - реалізація перешкоди. Завданням приймального пристрою є визначення номера сигналу або, що те ж саме, переданого елементу тривалістю .

Розпізнавання сигналів можна, в принципі, здійснювати різними способами за допомогою різних приймачів. Серед безлічі можливих існує приймач, що забезпечує прийом з мінімальною вірогідністю помилок. Такий приймач називається оптимальним.

Завдання полягає у визначенні алгоритму роботи і структури оптимального приймача, а також в обчисленні досяжної вірогідності помилок.

Із-за наявності перешкод безпомилкове однозначне розпізнавання, вочевидь, неможливе. Тому найбільше, що може зробити приймач

на першому кроці - це вказати (обчислити) вірогідність присутності в заданій реалізації кожного з можливих сигналів передавача.

На наступному кроці необхідно встановити правило винесення однозначної ухвали. Тут можливі різні підходи (критерії). Надалі передбачатимемо (як це найчастіше роблять), що присутній той сигнал, вірогідність якого найбільша.

У основі синтезу оптимального приймача лежить теорема Байеса, що зв'язує вірогідність причин і наслідків (розглянута раніше). У даному випадку розпізнавання дискретних сигналів «причинами» є випадково виникаючі елементи повідомлення і відповідні ним сигнали .

Позначимо цю дискретну безліч причин через а їх апріорну вірогідність через . «Наслідками» є отримувані на вході приймача реалізації .Безліч цих наслідків континуально (має безперервний характер), тому можна говорити лише про щільність вірогідності такого наслідку (реалізації ). Проте спочатку для наочності розгляду передбачимо, що наслідки також дискретні і їх можна представити як

Ясно, що із-за випадковості перешкод кожна причина (сигнал ) може викликати появу кожного наслідку (будь-якій реалізації ). Ця статистична ситуація описується матрицею умовної вірогідності

(2)

Слід підкреслити, що в даній ситуації приймач, в принципі, не може зробити більше, ніж обчислити по отриманому наслідку-реалізації апостеріорну вірогідність причин-сигналів і, отже, відповідних ним елементів повідомлення . Як було пояснено раніше, апостеріорна вірогідність причин при заданому наслідку , обчислюються відповідно до теореми Байеса:

, (3)

Тут ‑ "безумовна вірогідність -го наслідку, яка визначається по теоремі про повну вірогідність [1]:

(4)

Отримавши відповідно до (3) набір апостеріорних вірогідностей , одержувач повинен вибрати критерій, по якому він прийматиме остаточні рішення про те, який саме з сигналів передавався на даному інтервалі. У нашому підході це буде сигнал з найбільшою апостеріорною вірогідністю.

Взявши до уваги фізичну природу причин і наслідків даного завдання, відповідно до (3) і (4) отримаємо

. (5)

Тут і далі - вірогідність, а - щільність вірогідності. Нагадаємо, що вірогідність або щільність вірогідності при заданих результатах спостережень називаються правдоподібностями причин.

Синтез оптимального приймача для розпізнавання відомих сигналів

У завданні розпізнавання сигналів, що не містять випадкових параметрів (тобто точно відомих), «причинами» є сигнали, що поступають на вхід ,вірогідність яких рівна, вочевидь, вірогідності появи відповідних елементів .«Наслідками» є реалізації суми сигналу і перешкоди (1).

Кількісний опис ситуації зручно здійснювати за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Між коливаннями і векторами можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Тому замість коливань можна розглядати відповідні вектори, що характеризуються своїми координатами (параметрами коливання) (рис. 3).

Замість сигналів оперуватимемо однозначно відповідними ним векторами , а замість реалізацій ‑ векторами , координати, яких:

, (11)

де - координати шумового сигналу.

Вочевидь, що прийом сигналів у присутності шуму може призводити до помилок, оскільки вектор вхідної реалізації випадковий і з деякою вірогідністю може попасти в будь-яку точку простору (рис. 4).

Відповідно до теореми Байеса

(12)

Як було відмічено, рішення зазвичай виноситься на користь сигналу, що має найбільшу апостеріорну вірогідність. Оскільки знаменник (12) не залежить від номера , то вирішальне правило (алгоритм рішення) визначається так:

. (13)

Слід звернути увагу на те, що в цих виразах - щільність вірогідності, оскільки компоненти вектору, як видно з (11), є випадковими безперервними величинами.

У вираженні (13) апріорні вірогідності передачі елементів мають бути задані. Отже, необхідно визначити лише правдоподібності . Це можна зробити виходячи з того, що перешкода адитивна. Оскільки

, (14)

то щільність вірогідності деякого значення вектора дорівнює щільності вірогідності, що вектор перешкоди набуде значення . Звідси витікає, що якщо - відома нам щільність вірогідності вектора перешкоди, то

. (15)

Останній перехід справедливий тому, що сигнал і перешкоди - незалежні процеси.

Для подальшої конкретизації алгоритму необхідно задати певний вигляд перешкоди. В більшості випадків мають місце нормальні (гаусові) або близькі до них перешкоди. Обчислення в цьому випадку виявляються найбільш простими. При гаусових перешкодах кожна компонента вектору розподілена по нормальному закону

. (16)

У ряді випадків, зокрема, при рівномірному розподілі енергії перешкоди по смузі даних частот, компоненти вектору , є незалежними випадковими величинами. Тоді, як відомо, [1]

(17)

При залежних компонентах , вираження для істотно ускладнюється, і цей випадок тут розглядати не будемо.

Відзначимо, що , тобто є квадратом довжини (норми) вектору перешкоди. Отже, з урахуванням (15) і (17)

. (18)

Відкинувши множники, не залежні від номера сигналу , вирішальне правило (13) можна представити у вигляді

. (19)

Приймач, що працює по алгоритму (19), називається байесовским або приймачем максимальної апостеріорної вірогідності. Якщо апріорні вірогідністі елементів однакові, то вирішальне правило спрощується:

(20)

a^-b=1/a^b

Відповідний приймач називається приймачем максимальної правдоподібності. Правило (20) розкриває механізм роботи оптимального приймача. Нагадаємо суть його роботи.

Отримавши вектор , за допомогою обробки реалізації необхідно обчислити відстань від його кінця до кінців векторів всіх можливих сигналів і винести рішення на користь того сигналу, для якого величина буде мінімальною, оскільки саме в цьому випадку функція (20) досягне максимуму. Коротко можна сказати, що оптимальний приймач виносить рішення на користь сигналу «найближчого» до . Описане правило наочно представлене на рис. 5, де показані вектори двох можливих сигналів і вектор деякої конкретної реалізації . Оскільки , то в даному випадку приймач винесе рішення (можливо помилкове), що в реалізації присутній сигнал .

Вираження (20) досягає максимуму при мінімумі показника експоненти. Отже, правило (20) можна записати в іншому вигляді:

(21)

або, враховуючи векторне представлення і ,

(22)

Тут перший член в дужках не залежить від номеру . Останній член - є енергія -го сигналу. Якщо енергії всіх сигналів однакові, що зазвичай має місце, то цей член також не залежить від номеру . Таким чином, вирішальне правило можна записати так:

(23)

Справедливість такого переходу обумовлена тим, що другий член в (22) має знак мінус і вираження (22) мінімізується, якщо цей член досягає максимуму. Вираження (23) вже дозволяє визначити структуру оптимального приймача. Проте зручніше це вираження представити в іншому вигляді. Дійсно, врахуємо, що

. (24)

де - період існування дискретного сигналу.

Тоді остаточно отримаємо

(25)

Структурна схема, що реалізовує послідовність операцій, відповідних правилу (25), представлена на рис. 6; ця структура називається оптимальним кореляційним приймачем, оскільки основна операція, яка лежить в його основі, - операція кореляції зі всіма можливими сигналами .

З проведеного розгляду виходить, що до складу оптимального приймача повинні входити генератори, що виробляють, зразки сигналів , тотожні тим, які використовуються у передавачі. Крім того, між роботою генераторів передавача і приймача повинні дотримуватися синхронність і синфазність, тобто забезпечуватися ідеальна синхронізація.

Читайте також:

1. V. Завдання.
2. VІ. Підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
3. Абстрактна модель оптимального планування виробництва
4. Адаптація персоналу: цілі та завдання. Введення у посаду
5. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
6. Аеробний механізм ресинтезу АТФ
7. АКТУАЛЬНI ПРОБЛЕМИ І ЗАВДАННЯ КУРСУ РОЗМIЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ УКРАЇНИ
8. Актуальність і завдання курсу безпека життєдіяльності. 1.1. Проблема безпеки людини в сучасних умовах.
9. Алгоритм відшукання оптимального плану.
10. Алгоритм знаходження оптимального плану
11. Алгоритм планування податкових платежів. Вибір оптимального варіанту оподаткування та сплати податків.
12. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження

Переглядів: 979