Теорема Байеса

Хай деяка випадкова фізична величина, яку назвемо причиною, може приймати безліч значень (результатів) з щільністю вірогідності , яка вважається апріорною (заздалегідь відомою). Хай причина викликає появу іншої випадкової величини - наслідку , який також може приймати безліч значень. Щільність вірогідності цих значень залежить від конкретних результатів причини. Тому ситуація описується множиною умовної щільності вірогідності .

Статистичним рішенням називають процедуру, яка полягає в тому, аби, спостерігаючи конкретний наслідок , вказати причину, що викликала його .

Оскільки спостережуваний наслідок може бути викликаний будь-яким результатом причини , то можна визначити щільність вірогідності всіх можливих результатів причини , які могли викликати даний наслідок, тобто визначити функцію . Ця функція називається апостеріорною (післядослідослідною, встановленою на основі досліду, що мав місце, або спостереження) щільністю вірогідності причин.

Основою для ухвалення статистичного рішення є теорема Байеса [1]:

(*)

де ‑ умовна щільність розподілу наслідків;

‑ апріорна щільність вірогідності причини;

‑ безумовна щільність розподілу наслідків , визначувана як (значення цього інтеграла не залежить від , оскільки інтегрування по цій змінній ведеться по всій області її існування ).

З (*) витікає, що апостеріорна щільність вірогідності причини залежить від апріорної щільності вірогідності причини і умовній щільності вірогідності наслідків . Щільність є функцією , її називають функцією правдоподібності.

У теорії статистичних рішень показано [1], що при ухваленні рішення про конкретне значення діючої причини ,що викликала спостережуваний (або заданий) наслідок , найменшу помилку можна зробити, якщо виносити ухвалу на користь того значення причини, при якій умовний розподіл має найбільше значення. Таке правило ухвалення рішення називається байесовським.

Якщо апріорна щільність невідома, то саме більше, що можна зробити, - передбачити рівномірність її розподілу. Тоді ухвала виноситиметься на користь того значення причини ,при якому функція правдоподібності для спостережуваного наслідку набуває найбільшого значення. Це означає, що таке значення причини вважається найбільш правдоподібним серед інших можливих значень. Подібна процедура ухвалення рішення називається правилом максимальної правдоподібності.

Застосуємо викладений підхід до рішення задачі оптимального прийому сигналів.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Реляційна модель даних	\|	Постановка завдання синтезу оптимального приймача

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.