Обчислення площ плоских фігур у декартовій системі координат
Обчислення площ плоских фігур
Застосування інтегрального числення
Розділ 10
Якщо на відрізку задана неперервна функція , то, згідно з геометричною інтерпретацією визначеного інтеграла, площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою , прямими , та віссю (рис.1), обчислюється згідно з формулою:
. (1.1)
Рис.1 Рис.2
Криволінійні трапеції (рис.1 – при , рис.2 – при )
Якщо на відрізку функція (рис.2), то криволінійна трапеція буде розміщена у нижній півплощині і відповідний визначений інтеграл буде від’ємним. Оскільки площа фігури є величиною невід’ємною, то її можна обчислити згідно з формулою
, . (1.2)
Якщо на відрізку функція декілька разів змінює знак (рис.3), то інтеграл на відрізку слід розбити на суму інтегралів по часткових відрізках – відрізках знакосталості функції. Інтеграл буде додатнім на тих відрізках, на яких та від'ємним там, де . Інтеграл на відрізку дає різницю площ фігур, що лежать вище та нижче осі .
Рис.3 . Геометрична інтерпретація інтеграла від
знакозмінної функції
Щоб знайти суму площ без врахування розташування відносно осі , треба знайти суму абсолютних величин інтегралів на відрізках знакосталості функції або обчислити інтеграл від абсолютної величини функції, тобто (рис.4)
. (1.3)
Рис.4. Геометрична інтерпретація інтеграла
від модуля функції
Приклад 1.1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями та на проміжку .
á Згідно з формулою (1.1) для невід'ємної на функції матимемо
(кв.од.) .
Якщо треба обчислити площу фігури, розміщеної між лініями , та прямими , (на відрізку ) (рис.5), то формула площі запишеться
. (1.4)
Рис.5.
Приклад 1.2. Обчислити площу фігури, обмеженої параболами ; .
á Розв’язуючи систему рівнянь , знаходимо абсциси точок перетину: ; .