Нехай знайдено наближене значення розв’язку задачі Коші
, ,
,
(1)
і необхідно обчислити , де . Запишемо розклад розв’язку за формулою Тейлора -го порядку, приймаючи за базову точку (тобто за степенями ), і покладемо в цьому розкладі . Маємо
.
(2)
Якщо обмежитись двома доданками в правій частині розкладу (2), то отримаємо звичайний метод Ейлера. Подивимось, що дає врахування третього доданку.
При із (2) слідує рівність
.
(3)
Значення першої похідної в точці , в силу зв’язності (1), приблизно відоме:
.
(4)
Диференціюючи (1) за формулою повної похідної
знаходимо наближене значення другої похідної:
.
(5)
Підставляючи наближені вирази для , та в рівність (3), отримуємо наступну формулу для обчислення при :
.
(6)
Метод, який визначається даною формулою будемо називати виправленим методом Ейлера.
Так як при формули (4) і (5) є точними, а , згідно початкової умови, то на першому кроці обчислень за формулою (6) буде виникати похибка, пов’язана тільки з усіканням ряду Тейлора. Звідси слідує, що локальна похибка методу (6) складає величину , а це означає, що виправлений метод Ейлера відноситься до методів другого порядку.
2. Удосконалений метод Ейлера (метод середньої точки)
За цим методом розв’язок задачі Коші (1) обчислюється за формулами
, .
(7)
3. Метод Ейлера-Коші (метод Хойна)
Даний метод являє собою один із варіантів спільного використання методу Ейлера та неявного методу трапецій. В методі Ейлера-Коші використовують наступний порядок обчислень:
,
, .
(8)
Геометрично це означає, що визначається напрямок інтегральної кривої в точці та в допоміжній точці , а в якості остаточного береться середнє значення цих напрямків.
4. Удосконалений метод Ейлера-Коші з ітераційною обробкою
Зрозуміло, що можна досягти більшої точності, якщо, виходячи з того ж самого початкового наближення
,
(9)
зробити не одну, а кілька ітерацій за методом трапецій: