• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Виправлений метод Ейлера

Нехай знайдено наближене значення розв’язку задачі Коші

, , ,

(1)

і необхідно обчислити , де . Запишемо розклад розв’язку за формулою Тейлора -го порядку, приймаючи за базову точку (тобто за степенями ), і покладемо в цьому розкладі . Маємо

.

(2)

Якщо обмежитись двома доданками в правій частині розкладу (2), то отримаємо звичайний метод Ейлера. Подивимось, що дає врахування третього доданку.

При із (2) слідує рівність

.

(3)

Значення першої похідної в точці , в силу зв’язності (1), приблизно відоме:

.

(4)

Диференціюючи (1) за формулою повної похідної

знаходимо наближене значення другої похідної:

.

(5)

Підставляючи наближені вирази для , та в рівність (3), отримуємо наступну формулу для обчислення при :

.

(6)

Метод, який визначається даною формулою будемо називати виправленим методом Ейлера.

Так як при формули (4) і (5) є точними, а , згідно початкової умови, то на першому кроці обчислень за формулою (6) буде виникати похибка, пов’язана тільки з усіканням ряду Тейлора. Звідси слідує, що локальна похибка методу (6) складає величину , а це означає, що виправлений метод Ейлера відноситься до методів другого порядку.

2. Удосконалений метод Ейлера (метод середньої точки)

За цим методом розв’язок задачі Коші (1) обчислюється за формулами

, .	(7)

3. Метод Ейлера-Коші (метод Хойна)

Даний метод являє собою один із варіантів спільного використання методу Ейлера та неявного методу трапецій. В методі Ейлера-Коші використовують наступний порядок обчислень:

, , .

(8)

Геометрично це означає, що визначається напрямок інтегральної кривої в точці та в допоміжній точці , а в якості остаточного береться середнє значення цих напрямків.

4. Удосконалений метод Ейлера-Коші з ітераційною обробкою

Зрозуміло, що можна досягти більшої точності, якщо, виходячи з того ж самого початкового наближення

,

(9)

зробити не одну, а кілька ітерацій за методом трапецій:

.

(10)

Ознакою закінчення ітераційного процесу є умова:

.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 2449