Кожному вектору у відповідність ставимо його довжину.
Якщо , то вектор називається одиничним або нормованим.
· Як пронормувати вектор ?
1) Знайти його норму , а потім кожну координату вектора розділити на його норму. Отриманий вектор є одиничним або нормованим.
Приклад. Пронормуємо
Розв’язання.
· Якщо всі вектори системи є ортогональні та одиничні, то така система називається ортонормованою.
· Вектори називаються лінійно незалежними, якщо лінійна комбінація векторів приймає нульове значення тільки у випадку, коли всі ,дорівнюють нулю одночасно.
· Якщо існує хоча б одне ,при якому лінійна комбінація векторів приймає нульове значення, то вектори називаються лінійно залежними.
· Якщо хоча б один з векторів системи нульовий, то така система лінійно залежна.
· В просторі лінійна залежність векторів означає їх колінеарність.
· В просторі лінійна залежність векторів означає їх компланарність. Вектори компланарні, якщо вони належать одній площині або паралельні до однієї площини.
Розглянемо систему n векторів розмірності m
· Для того, щоб система векторів була лінійно незалежною необхідно і достатньо, щоб однорідна система рівнянь (1) мала єдиний нульовий розв’язок:
(1)
Якщо необхідною та достатньою умовою лінійної незалежності векторів є умова, щоб визначник основної матриці системи, елементами якого є координати векторів , не дорівнював нулю.
· Система m лінійно незалежних векторів простору називається базисом простору.
· Ортонормована система m векторів є базисом простору .
· Вектори утворюють базис трьохвимірного простору (ортонормовану систему).
· Базис для m вимірного простору: m векторів , кожен з яких має розмірність m:
· Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , серед яких принаймні одне для яких виконується рівність