Матриця А невироджена, тому обернена матриця знаходиться за формулою (1). Знаходимо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:
Складаємо обернену матрицю
Переконуємось, що
4. Ранг матриці
Нехай задано матрицю Виділимо в матриці А будь-які рядків і стільки ж стовпців, де - число, не більше чисел т і п, тобто
Визначник порядку , складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором -го порядку матриці А.
Рангом r(А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.
Безпосередньо з означення випливає, що:
1) Ранг існує для будь-якої матриці , причому
2) тоді і тільки тоді, коли А = 0;
3) Для квадратної матриці п-го порядку ранг дорівнює п тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.
Правило знаходження рангу матриці:
1. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то .
2. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю то .
3. У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку дорівнюють нулю, або мінорів порядку не існує, тоді .