• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 8. Пряма в просторі

Мета. Поширити поняття про пряму як лінію в просторі. Розглянути різні види рівняння прямої, порівняти їх з відповідними рівняннями прямої на площині.

План.

1. Поняття про рівняння лінії в просторі.

2. Загальне рівняння прямої. Пучок площин.

3. Канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

4. Кут між двома прямими, кут між площиною і прямою.

1.Нехай маємо в просторі дві поверхні, що перетинаються. Рівняння однієї поверхні запишемо F₁ (x,y,z)=0 , а другої поверхні F₂ (x,y,z)=0. Усі точки лінії перетину двох поверхонь задовільняють як перше так і друге рівняння. Таким чином рівняння отриманої лінії запишемо у вигляді:

Наприклад,

Крім того, лінію в просторі можна задати параметрично як вирази трьох функцій (абсциси, ординати і аплікати) відносно деякого параметра t.

2. Так як пряма є лінією перетину двох площин, то загальне рівняння прямої в просторі можна задати у вигляді:

(1)

Коефіцієнти A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ не є пропорційними.

Розглянемо поняття пучка площин.

Нехай - деяка пряма в просторі.

Пучком площин називається сукупність площин, які проходять через дану пряму. Пряма в такому випадку називається віссю пучка.

При довільному l рівняння виду

(2)

визначає площину.

Приклад. Скласти рівняння пучка площин, який проходить через пряму

і точку M(2;1;1).

Розв’язання.

x-3y+z+2+l(x-y-3z-2)=0,

2+3+1+2+l(2-1-3-2)=0,

8-4l=0,

l=2.

x-3y+z+2+2(x-y-3z-2)=0,

3x+y-5z-2=0.

3.Нехай задано точку М₁(х₁, y₁, z₁) , що належить прямій і вектор напрямний до неї. Виберемо довільну точку М(x,y,z) цієї прямої. Аналогічно до рівняння прямої на площині маємо, що колінеарний вектору За ознакою колінеарності

Це рівняння називають канонічними рівняннями прямої. Взявши t – параметр колінеарності, маємо

Отримали параметричне рівняння прямої з параметром t.

Нехай задано точки M ₁ (x₁, y₁, z₁) та М₂ (x₂, y₂, z₂) , що належать площині тоді вектор напрямний до неї. Виберемо довільну точку М(x,y,z) цієї прямої. Використовуючи канонічне рівняння прямої маємо

Для того, щоб звести загальне рівняння до канонічного виду потрібно:

1) Знайти координати деякої точки М, що належить прямій, враховуючи, що точка перетину прямої і координатної площини має одну координату рівну нулеві, а дві інші однозначно визначаються з загального рівняння.

2) Знайти напрямний вектор прямої, обчисливши його координати як координати векторного добутку двох векторів нормалей до площин, рівняння яких записанні в загальному рівнянні прямої.

3) Записати рівняння прямої через точку та напрямний вектор.

4.Нехай кут j є кутом між двома прямими, зрозуміло, що він дорівнює кутові між напрямними векторами цих прямих.

Якщо прямі заданні канонічними рівняннями і їх напрямні вектори (l₁,m₁,n₁) та (l₂,m₂,n₂), то косинус кута ( можна обраховувати використовуючи означення скалярного добутку

Умови паралельності і перпендикулярності прямих аналогічні до прямих на площині

Для того, щоб знайти кут між прямою і площиною, врахуємо, що sinj=cosy, де кут j - кут між прямою та площиною (чи, що те саме, що й кут між прямою та її проекцією) , а y - кут між нормальним вектором площини та напрямним вектором прямої.

Тобто,

Читайте також:

1. Автоматизація за напрямами
2. Анатомія параректальних просторів
3. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
4. В українському інформаційному просторі аналітична журналістика також повинна відіграти вже зараз видатну роль: збудувати духовну будівлю українського національного світу.
5. Вібрація – це механічні коливання матеріальних точок або тіл, які виникають в горизонтальному і вертикальному напрямах.
6. Діалектизми, просторіччя, жаргонізми як складові загальнонародної національної мови, стилістичне використання їх у літературній мові
7. Дія нормативно-правових актів в часі, просторі та за колом осіб.
8. Загальні рівняння прямої в просторі
9. ЗВ'ЯЗОК ОРГАНІЗАЦІЇ ВИКОРИСТАННЯ АРХІВНОЇ ІНФОРМАЦІЇ З ІНШИМИ НАПРЯМАМИ РОБОТИ АРХІВНИХ УСТАНОВ
10. Лекція 3. Площина в геометричному просторі.
11. Лекція 4. Прямі в просторі.
12. Лінійні перетворення в евклідовому просторі

Переглядів: 1176