МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Диференціальне рівнянняТема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку Мета. Розглянути деякі класи дифрівнянь 1-го порядку та методи їх розв’язання. План. 1. Однорідні рівняння. 2. Лінійні рівняння першого порядку.
1. Функція F(x,y) називається однорідною степеня k, якщо для всіх l>0 виконується рівність F(lx, ly)= lkF(x, y). Прикладом однорідної функції може бути будь-яка форма (однорідний многочлен) степеняь k. Функції , наприклад, є однорідними відповідно степеня 0, 1, 2, k відповідно. (1) називається однорідним, якщо f(x,y) – однорідна функція степеня нуль. Диференціальне рівняння першого порядку в симетричній формі є однорідним, якщо А(х,у) В(х,у) – однорідні функції одного степеня. Однорідне рівняння можна розглядати в будь-якій однорідній (інваріантній відносно розтягу або стиску) області, наприклад, у куті з вершиною О тощо. Заміна у=zx приводить однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідне рівняння можна також звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою переходу до полярних координат: х=rcosj, y=rsinj. Рівняння виду: можна звести до однорідного за допомогою лінійної заміни х=х0+t, y=y0+z, де х0, у0 – координати точки перетину прямих а1х+b1y+c1=0 i a2x+b2y+c2=0. Якщо ці прямі не перетинаються, то і рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни а1х+b1y+c1=z. Приклад 1. Розв’язати рівняння: Розв’язання. Дане рівняння однорідне. Поклавши у=zx, дістанемо . Приклад 2. Розв’язати рівняння ( Розв’язання. Поклавши y=xz, дістанемо (x-xzcosz)dx+xcosz(xdz+zdx)=0 або
звідки після інтегрування Отже, . 2. Диференціальне рівняння , (2) де а(х), b(x) – довільні неперервні функції, лінійне відносно функції у=у(х). Загальними методами розв’язування лінійних рівнянь є метод Лагранжа (варіації довільної сталої), Бернуллі та Ейлера. Метод Лагранжа. Лінійне однорідне рівняння (відповідне (2)), яке є рівнянням з відокремлюваними змінними, розв’язується за формулою , (3) Маємо , (4) де с – довільна дійсна стала. Розв’язок рівняння (2) знахожимо у формі (4), але при с=с(х), тобто . (5) Підставляючи (5) в (2), дістанемо диференціальне рівняння для знаходження функції с(х):
, (6) звідки . (7) Розв’язки рівняння (3) задаються співвідношенням у=у0+у1. Маємо . (8) Розв’язок задачі Коші з початковою умовою у(х0)=у0 має вигляд . (9) Метод Бернуллі. Розв’язки рівняння (2) шукаємо у вигляді (10) Маємо u'v+uv'+a(x)uv=b(x) uv'+v(u'+a(x)u)=b(x) функцію u(x) виберемо з умови u'+a(x)u=0. Звідси (11) тоді для функції v(x): , (12) де С – довільна стала. Перемноживши (11), (12) дістанемо (8). Метод Ейлера (інтегрувального множника). Помноживши рівняння (2) на функцію - інтегруючий множник, добуте рівняння запишемо у вигляді . Інтегрування останнього дає , що еквівалентне (8). Рівняння (8) називають формулою загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння (1). Приклад 3. Розв’язати рівняння . Розв’язання. Задане рівняння є лінійним відносно функції у=у(х). Продемонструємо на прикладі цього рівняння кожний із запропонованих методів. Метод Лагранжа дає такий ланцюжок перетворень:
. Отже, загальний розв’язок заданого рівняння має вигляд Метод Бернуллі приводить до інших перетворень:
для маємо , звідки для звідки Остаточно Метод інтегрувального множника вимагає виконання таких перетворень: знаходимо ; помноживши рівняння на знайдену функцію, дістанемо звідки
Читайте також:
|
||||||||
|