• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференціальне рівняння

Тема 20. Диференціальні рівняння 1-го порядку

Мета. Розглянути деякі класи дифрівнянь 1-го порядку та методи їх розв’язання.

План.

1. Однорідні рівняння.

2. Лінійні рівняння першого порядку.

1. Функція F(x,y) називається однорідною степеня k, якщо для всіх l>0 виконується рівність F(lx, ly)= l^kF(x, y). Прикладом однорідної функції може бути будь-яка форма (однорідний многочлен) степеняь k. Функції

,

наприклад, є однорідними відповідно степеня 0, 1, 2, k відповідно.

(1)

називається однорідним, якщо f(x,y) – однорідна функція степеня нуль.

Диференціальне рівняння першого порядку в симетричній формі

є однорідним, якщо А(х,у) В(х,у) – однорідні функції одного степеня.

Однорідне рівняння можна розглядати в будь-якій однорідній (інваріантній відносно розтягу або стиску) області, наприклад, у куті з вершиною О тощо.

Заміна у=zx приводить однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідне рівняння можна також звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою переходу до полярних координат: х=rcosj, y=rsinj.

Рівняння виду:

можна звести до однорідного за допомогою лінійної заміни

х=х₀+t, y=y₀+z,

де х₀, у₀ – координати точки перетину прямих а₁х+b₁y+c₁=0 i a₂x+b₂y+c₂=0. Якщо ці прямі не перетинаються, то і рівняння можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою заміни

а₁х+b₁y+c₁=z.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Дане рівняння однорідне. Поклавши у=zx, дістанемо

.

Приклад 2. Розв’язати рівняння

(

Розв’язання.

Поклавши y=xz, дістанемо

(x-xzcosz)dx+xcosz(xdz+zdx)=0

або

звідки після інтегрування

Отже,

.

2. Диференціальне рівняння

, (2)

де а(х), b(x) – довільні неперервні функції, лінійне відносно функції у=у(х).

Загальними методами розв’язування лінійних рівнянь є метод Лагранжа (варіації довільної сталої), Бернуллі та Ейлера.

Метод Лагранжа. Лінійне однорідне рівняння (відповідне (2)), яке є рівнянням з відокремлюваними змінними, розв’язується за формулою

, (3)

Маємо

, (4)

де с – довільна дійсна стала.

Розв’язок рівняння (2) знахожимо у формі (4), але при с=с(х), тобто

. (5)

Підставляючи (5) в (2), дістанемо диференціальне рівняння для знаходження функції с(х):

, (6)

звідки

. (7)

Розв’язки рівняння (3) задаються співвідношенням у=у₀+у₁. Маємо

. (8)

Розв’язок задачі Коші з початковою умовою у(х₀)=у₀ має вигляд

. (9)

Метод Бернуллі. Розв’язки рівняння (2) шукаємо у вигляді

(10)

Маємо

u'v+uv'+a(x)uv=b(x)

uv'+v(u'+a(x)u)=b(x)

функцію u(x) виберемо з умови u'+a(x)u=0. Звідси

(11)

тоді для функції v(x):

, (12)

де С – довільна стала.

Перемноживши (11), (12) дістанемо (8).

Метод Ейлера (інтегрувального множника). Помноживши рівняння (2) на функцію - інтегруючий множник, добуте рівняння запишемо у вигляді

.

Інтегрування останнього дає

,

що еквівалентне (8).

Рівняння (8) називають формулою загального розв’язку лінійного неоднорідного рівняння (1).

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Задане рівняння є лінійним відносно функції у=у(х). Продемонструємо на прикладі цього рівняння кожний із запропонованих методів.

Метод Лагранжа дає такий ланцюжок перетворень:

.

Отже, загальний розв’язок заданого рівняння має вигляд

Метод Бернуллі приводить до інших перетворень:

для маємо , звідки для звідки

Остаточно

Метод інтегрувального множника вимагає виконання таких перетворень: знаходимо ; помноживши рівняння на знайдену функцію, дістанемо звідки

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
3. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
4. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
5. Вивід основного рівняння фільтрації
6. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
7. Головне рівняння відцентрового насоса. Теоретичний напір.
8. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
9. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
10. Динамічна інтерпретація диференційного рівняння другого порядку. Консервативні системи.
11. Диференціальне рівняння Ейлера для потоку рідини.

Переглядів: 1371