Дійсна робота при статичній дії узагальненої сили на пружну систему дорівнює половині добутку остаточного значення сили на остаточне значення відповідного узагальненого переміщення .
У разі статичної дії на пружну систему кількох узагальнених сил P1, P2, … ,Pk робота деформації дорівнює половині суми добутків остаточного значення кожної сили на остаточне значення кожної сили на остаточне значення відповідного переміщення:
A=1/2 P∆l
Визначимо потенціальну енергію деформації пружнього елемента при чистому згині.
М н.ш.
х dx dx
dS= ρ dφ → dx= ρ dφ так як нейтральний шар:
M M dφ=dx/ ρ
du= ½ M dφ = ½ M 1/ρ dx
Закон Гука 1/ ρ= М/ЕΙz
du=1/2 (M2/ ЕΙz) dx
-
потенціальна енергія деформації при згині. Знак Σ означає додавання по всім ділянкам балки.
Інтеграл Мора
Розглянемо будь-яку пружну систему.
1) Нехай діє узагальнене навантаження, сила Р1 в точці 1. Переміщення відповідних точок системи будуть Δ11, Δ21 … Δі1.
2) Нехай діє узагальнена сила Р2 в точці 2, переміщення відповідних точок будуть Δ12, Δ22 … Δі2.
Δij – i – номер точки,яка переміщується;
j – номер точки прикладання зовнішньої сили, тобто цей індекс вказує силу, яка викликає прогин.
Розглянемо балку, яка нагружена силою Р1. Прогин від цієї сили Δ11.
Прикладаємо далі силу Р2. До прогина Δ11 точки, де прикладена сила Р1, від цієї ж сили добавиться прогин Δ12 від сили Р2.
Робота сили Р1 на переміщенні Δ11 дорівнює за формулою Клайперона:
Відповідна енергія деформації:
Так як A1=U1, то .
Після прикладання сили Р2 точка 1 одержить додаткове переміщення Δ12. Робота сили Р1 на переміщенні Δ12 дорівнює:
.
В цьому виразі немає множника 1/2, так як, в процесі навантаження балки силою Р2, сила Р1 була вже прикладена і її значення не змінилось. Сила Р2 здійснює роботу на переміщенні Δ2 точки, де вона прикладена
.
Енергія деформації, яка відповідає навантаженню Р2 дорівнює
, A2=U2.
Повну роботу зовнішніх сил можна представити як суму трьох доданків:
Енергію деформації при спільній дії сил та знайдемо, враховуючи, що (до визначення згинальних моментів можна застосувати принцип незалежної дії сил):
А=U
Величин - це одиничний момент,який викликається дією сил рівної 1(безрозмірна)