• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Домашнє завдання

Властивості дисперсії

1. D ( C ) = 0.

2. D ( CX ) = C² D ( X ).

3. D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ), X і У - незалежні.

4. D ( C + X ) = D ( X ).

Кілька слів з приводу властивостей дисперсії.

Властивість 4 означає, що зміщення величини не змінює її дисперсії. Дисперсія добутку двох величин може не дорівнювати добутку дисперсій вихідних величин.

Можна довести , що для біноміального розподілу D (X ) = npq; для розподілу Пуассона D (X ) = λ. Для геометричного розподілу D (Х) = .

Для рівномірного розподілу D (X) = ; для експоненціального розподілу

D (X ) = ; для нормального розподілу D ( X ) = , де σ - параметр розподілу.

ОзначенняПочатковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називається величина

V_k = M ( X ^k )

Очевидно, що

v₁ = M ( X ) , D ( X ) = M ( X² ) – M² ( X ) = v₂ – v₁².

ОзначенняЦентральним моментом k-го порядку випадкової величини Х називається величина

μ _к = M ( X – M ( X ))^k

Очевидно, що

μ ₁ = M ( X – M ( X )) = 0

μ₂= M ( X – M ( X ))² = D ( X ) = v₂ – v₁² ,

тобто μ ₂= v₂ – v₁² . Взагалі, довільний центральний момент можна виразити через початкові моменти, Наприклад,

μ₃ = M ( X – M ( X ))³= v₃ - 3v₁ v₂ + 2v₁³ ,

ОзначенняМодою М₀ (Х) розподілу випадкової величини Х називається значення Х, якому відповідає найбільша ймовірність (щільність ймовірності)

max P (X) = P (M₀ ( X )) (max f (x) = f (M₀ (X)).

ОзначенняМедіаною Me (X) розподілу випадкової величини Х називається значення Х , яке задовольняє рівність

P (a < X < Me (X)) = P ( Me (X) ≤ x < b ).

ОзначенняАсиметрією розподілу випадкової величини називається величина

As = μ ₃ /σ³.

Якщо As > 0, то “довга частина” розподілу розташована справа від М (Х);

As < 0 - зліва. Асиметрія для випадкової величини, закон розподілу якої симетричний відносно М (Х) дорівнює 0.

ОзначенняЕксцесом розподілу випадкової величини називається число

ε_k =

Ексцес характеризує степінь “зглаженності” ( гостровершинності) щільностірозподілу в порівнянні з нормальною щільністю розподілу ( для нормального розподілу ε_k = 0 )

7.1. Знайти: МХ і DX.

X 5 10 15 20

P 1/12 4/12 5/12 1/6

7.2. Дано: X Знайти:

7.3. Дано: , MX=3.4, DX=0.84. Знайти:

7.4. Сім разів підкинуто монету. Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення кількості появи герба.

7.5. Ймовірність того, що студент відповість на питання дорівнює 0,7. Білет містить три питання. Знайти середнє значення кількості питань, на які студент відповість.

7.6. У хімчистці стверджують, що 85% плям на вовняних речах відмиваються. Ви здали в хімчистку 3 вовняні речі з плямами. Скласти закон розподілу кількості ваших вовняних речей, що після хімчистки виявились без плям. Знайти математичне сподівання і дисперсію.

7.7. Неперервна випадкова величина рівномірно розподілена на інтервалі (4;6). Знайти М(Х), D(Х), σ(Х) цієї величини.

7.8. Обчислити М(Х), D(Х), σ(Х) випадкової величини Х, якщо щільність розподілу відома :

0, x (– ∞ ; 0)

f(x) =

3e^-3x, x [0 ;+ ∞)

7.9. Обчислити М(Х), D(Х), σ(Х) випадкової величини Х, якщо щільність розподілу відома

.

7.10. Обчислити М(Х), D(Х), σ(Х), якщо відома функція розподілу випадкової величини:

.

7.11. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показникового розподілу, заданого щільністю розподілу , .

Лекція 8 Закон великих чисел. Центральна гранична теорема

Розглянемо нерівність Чебишева : відхилення випадкової величини від її математичного сподівання не може бути дуже великим, воно обмежене. Точніше, великі відхилення мають малу ймовірність :

P(|X -MX|> ) <

Дуже часто ми декілька разів повторюємо експеримент по виміру якої–небудь величини, а потім беремо середнє арифметичне тих значень, що одержали. Виявляється, що чим більше вимірів, тим це середнє арифметичне все ближче наближається до математичного сподівання. Це і є закон великих чисел- середнє багатьох експериментів вирівнюється, випадковість змінюється закономірністю.

У формі Чебишева закон великих чисел має вигляд :

Нехай Х₁, Х₂, . . . , Х_n . . . – однаково розподілені незалежні випадкові величини з математичними сподіваннями і дисперсіями

MX₁ = MX₂ = …. = MX_n = …. = m

DX₁ = DX₂ = … = DX _n= … = d

тоді для будь - якого >0

(8.1)

Це означає, що при використанні великої кількості доданків ймовірність відхилення середнього арифметичного від математичного сподівання стає все меншою.

Перша форма закону великих чисел належить Я.Бернуллі, вона стосується “схеми Бернуллі”. Застосовуємо до цього випадку співвідношення (8.1). За величину приймаємо одну з незалежних випадкових величин, що має розподіл імовірностей

P (A) =

Маємо MX₁ = р, DX₁ = р(1-р); реалізація випадкової величини. – кількість появи випадкової події А, тобто частота (n – число випробувань, k– число появи А), m = p – ймовірність появи випадкової події А. За умов (8.1)

,це і є закон великих чисел Бернуллі.

Перейдемо до центральної граничної теореми.

Досліджуючи схему Бернуллі виявляється, що випадкова величина

х = наближено розподілена за нормальним законом. Подібне твердження справедливе і для ряду інших випадків; зветься воно центральною граничною теоремою. Перші кроки в одержані цього результату зробив П.Л. Чебишев. За його пропозицією спробу, і причому успішну, довести цю теорему зробили учні Чебишева О.М. Ляпунов та А.А. Марков. Ляпунов першим одержав це доведення, він довів наступний результат : нехай незалежні випадкові величини Х₁, Х₂ , .. .., Х_n мають скінченні математичні сподівання m_k = MX_k і дисперсії

σ_k² = d_k = DX_k, причому виконується умова

(8.2)

Позначимо (8.3)

(8.4)

Тоді випадкова величина при великих n наближено розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням m = 0 і σ = 1, а саме

Розглядають суми S^* незалежних випадкових величин (8.3), які нормуються за допомогою (8.4). Ці нормовані суми S_n^* розподілені наближено нормально, коли число доданків велике, а внесок, що дає кожний доданок, відносно малий, - саме такий зміст має умова (8.2 ).

Центральна гранична теорема пояснює , чому нормальний розподіл часто зустрічається у застосуваннях: він, звичайно, з’являється тоді, коли сумується багато випадкових величин, кожна з яких відносно невелика. Наприклад, це має місце, коли при вимірі якоїсь величини одержати точне значення заважають багато дрібних похибок, що сумуються між собою. За природних умов ці похибки компенсують одна одну так, що у результаті для остаточної похибки наближено справедливий нормальний розподіл. Теорію похибок вперше детально вивчали К.Ф.Гаусс і А.М. Лежандр. У результаті « накладання» випадкових величин не завжди з’являється величина розподілена нормально, граничним розподілом може бути (при певних умовах) розподіл Пуассона та інші.

Читайте також:

1. V. Завдання.
2. VІ. Підсумки уроку і повідомлення домашнього завдання.
3. Адаптація персоналу: цілі та завдання. Введення у посаду
4. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
5. АКТУАЛЬНI ПРОБЛЕМИ І ЗАВДАННЯ КУРСУ РОЗМIЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ УКРАЇНИ
6. Актуальність і завдання курсу безпека життєдіяльності. 1.1. Проблема безпеки людини в сучасних умовах.
7. Аналіз руху грошових коштів у контексті нової фінансової звітності Важливим завданням аналізу фінансового стану підприємства є оцінка руху грошових коштів підприємства.
8. Аудит, його мета та завдання
9. Багатокритеріальні завдання оптимального керування
10. Багатокритерійні завдання і можливі шляхи їхнього рішення.
11. Безпека життєдіяльності людини – найважливіше завдання людської цивілізації
12. Бухгалтерська звітність, її значення, завдання і вимоги

Переглядів: 625