Критерій Пірсона. Критерій Колмогорова

Домашнє завдання

11.1 За даними вибірки

8,5 8,4 7,95 7,7 8,0 8,25 8,2 8,2 8,45 8,5 8,8 8,0 8,3 8,3 8,25 8,0 знайти довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання а нормального розподілу з надійністю γ=0,95; 0,99; 0,999.

11.2 Відомі середнє квадратичне відхилення нормального розподілу випадкової величини Х, вибіркова середня _в, об’єм вибірки n. Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання а при заданій надійності = 0,99:

= 6; _в= 20,2; n = 100.

11.3 Приведено дані виробітку на одного робітника із 65 робітників у звітному році в процентах у відношенні з минулим роком: 105; 120; 97; 130; 80; 95; 100; 85; 115; 80; 105; 100; 105; 97; 80; 130; 97; 105; 100; 80; 120; 97; 195; 95; 97; 130; 100; 120; 80; 105; 100; 105; 97; 110; 115; 80; 97; 100; 110; 80; 130; 80; 97; 100; 105; 100; 80; 120; 97; 195;115; 105; 120; 97; 130; 80; 110; 105; 115; 97; 80; 105; 100; 100; 80. Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання при = 0,95.
Лекція 12 Поняття статистичної гіпотези. Статистичний критерій.

Нехай випадкова величина X розподілена за законом F (x_i; q_j) і нехай на основі вибірки х₁, х₂, .... , х_n, здобутої із генеральної сукупності з функцією розподілу F (x_i; q_j), робимо деякі припущення (гіпотези): або про вид функції F (x_i; q_j), або про параметри q_j цієї функції. Припущення такого роду називаються статистичними гіпотезами.

Статистична гіпотеза називається параметричною, якщо в ній сформульовані припущення відносно значень параметрів функції розподілу відомого виду, непараметричною - якщо в ній сформульовані припущення відносно виду самої функції розподілу. Статистичні гіпотези поділяються на нульові Н₀ (основні) і альтернативні Н₁ (конкуруючі).

Перевірка статистичних гіпотез здійснюється на основі даних вибірки. Для цього застосовують певну виборчу статистику К, яка є функцією спостережених значень, точний або приблизний розподіл якої відомий. Випадкову величину К, за допомогою якої приймається рішення про прийняття або відхилення нуль - гіпотези, називаються статистичним критерієм. Статистичним критерієм значущості називається правило відхилення нульової гіпотези, яке заключається в розбитті області можливих значень випадкової величини К на дві під області, що не перетинаються, причому нульова гіпотеза відхиляється, якщо спостережне значення критерію К належить критичній під області і вважається узгодженою з дослідним, якщо К не належить критичній під області. При цьому, так як рішення приймається на основі вибірки скінченого об'єму, дослідник може зробити слідуючи помилки: а) прийняти невірну гіпотезу (помилка першого роду); в) відхилити вірну гіпотезу (помилка другого роду).

Ймовірність зробити помилку першого роду Р (Н₁/ Н₀) = α – називається рівнем значущості статистичного критерію. Величину 1 - Р (Н₁/ Н₀) = 1 - β називають потужністю критерію.

Перевірка гіпотези про припущений закон розподілу проводиться за допомогою непараметричних критеріїв значущості. Основна група непараметричних критеріїв значущості - критерії згоди, за допомогою яких перевіряються нульові гіпотези відносно загального вигляду функцій розподілу. Задача визначення критерію згоди ставиться у такий спосіб: нехай х₁, х₂,..., х_n – випадкова вибірка, тобто спостережені значення випадкової величини X, і нехай f*(х) – статистична щільність розподілу; задамо деяку невід'ємну міру D відхилення емпіричної функції f*(х) від гіпотетичної теоретичної функції f(х).

D = D{f*(х),f(х)}.

Найбільш поширені критерії згоди: критерій Пірсона χ², λ – критерій Колмогорова.

Критерій згоди Пірсона χ².

Нехай випадкова величина має функцію розподілу ймовірностей F (х), яка належить деякому класу функції Ω визначеного виду (нормальних, показникових, біномінальних та інших) і нехай з генеральної сукупності вилучена вибірка об'єму n: х₁, х₂,..., х_n. Треба перевірити нульову гіпотезу Н₀: F(x) Ω при конкуруючій гіпотезі Н₁: F(x) Ω.

Схема міркувань при перевірці гіпотези Н₀ за допомогою критерію згоди Пірсона складається з подальшого: висуваємо гіпотезу Н₀: X ~ N(α;σ) випадкова величина розподілена за нормальним законом, при конкуруючій гіпотезі Н₁: X ~ N(α;σ), випадкова величина не розподілена за нормальним законом.

Для перевірки гіпотези:

1) Складають згрупований статистичний ряд.

2) Обчислюють ймовірності попадання випадкової величини X у часткові інтервали (x_j_-1; x_j) ,для цього треба попередньо пронормувати величину, тобто знайти значення . P_j = P{x_j_-1 < X < x_j} = P{u_j_-1 <X <u_j}= Ф(u_j) –Ф(u_j_-1).

3) Визначають теоретичні частоти пр_і часткових інтервалів.

4) Обчислюють вибіркову статистику (критерій)

Якщо нульова гіпотеза вірна, то при n → ∞ закон розподілу даної статистики χ², незалежно від виду функції F (х), прямує до закону розділу χ² з числом ступенів вільності f = k - r - 1 (k – кількість інтервалів; r – кількість параметрів гіпотетичної функції F (х)).

5) По таблицям χ²– розподілу (див. додатки), по заданому рівню значущості a і кількості степенів вільності f = k - r - 1 (для нормального розподілу r = 2) знаходять критичне значення χ_a ²(f) порівнюючи значення вибіркової статистики χ², що спостерігається з критичним значенням χ_α² (f) і приймають одне з двох рішень:

- якщо χ² < χ_α² (f) , то не існує потреби для відхилення нульової гіпотези;

- якщо χ² ≥ χ_α² (f) , то приймається конкуруюча гіпотеза Н₁.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу	\|	Метод найменших квадратів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.