• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Згасаючі коливання

Реальні коливання відбуваються в умовах дії сил тертя (опору). І тому реальні коливні системи є дисипативними, в яких механічна енергія частково втрачається, що призводить до поступового зменшення амплітуди, тобто до згасання коливань. Для спрощення обмежимось випадком лінійного коливання матеріальної точки у в’язкому середовищі. Якщо швидкість коливального руху невелика, то сила опору пропорційна до швидкості і напрямлена проти швидкості, тобто

,

де r – коефіцієнт опору.

Тоді за другим законом Ньютона

. (5.27)

Розділивши рівність (5.27) на m, отримаємо

. (5.28)

Введемо позначення

.

Рівняння (5.28) матиме вигляд диференціального рівняння згасаючих коливань:

. (5.29)

Підстановкою

(5.30)

приведемо рівняння (5.29) до простішого вигляду (тут е – основа натурального логарифму). Заміну змінних у (5.29) проведемо за допомогою рівнянь

(5.31)

Підставляючи (5.30) і (5.31) у (5.29), отримаємо

або

. (5.32)

У випадку, коли , можна ввести заміну Тоді рівняння (5.32) прийме вигляд

(5.33)

розв’язком якого є

. (5.34)

У випадку, коли , рух матеріальної точки буде неперіодичним (аперіодичним).

Підставляючи (5.34) у (5.30), одержимо рівняння руху коливної точки під дією квазіпружної сили та сили опору, тобто рівняння згасаючих коливань:

. (5.35)

З (5.35) видно, що амплітуда коливань зменшується з часом за експоненціальним законом (рис. 5.6):

. (5.36)

Фізично β характеризує швидкість зменшення амплітуди і називається коефіцієнтом згасання. Можна показати, що β чисельно дорівнює оберненій величині часу τ, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Дійсно, якщо , то із (5.36) слідує, що

.

Звідси

.

Зручно користуватись поняттям логарифмічного декременту згасання λ, як натурального логарифму відношення двох послідовних амплітуд (через період Т):

.

Читайте також:

1. АВТОКОЛИВАННЯ
2. Вимушені електромагнітні коливання
3. Вимушені коливання
4. Вимушені коливання
5. Вібрація – це механічні коливання матеріальних точок або тіл, які виникають в горизонтальному і вертикальному напрямах.
6. Вільні коливання
7. Власні коливання динамічних систем
8. Вплив коливання рівня води в всмоктувальному резервуарі на режим роботи насоса.
9. Гармонічні коливання
10. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
11. Гідродинамічні коливання тиску
12. Екологічна валентність – властивість організму витримувати амплітуду коливання того чи іншого екологічного фактора.

Переглядів: 2168