Розподіл випадкової величини набуває характеру логарифмічно нормального, коли за нормальним законом змінюється логарифм цієї величини. Цим законом описується напрацювання до відмови більшості деталей, особливо якщо відмови настають через втомлюваність і старіння (наприклад, підшипників кочення).
а – щільність імовірності f(t); б – імовірність безвідмовної роботи P(t); в – інтенсивність відмов l(t)
Щільність розподілу (рис. 4.) описується такою залежністю:
(20)
де μ, S - параметри, які оцінюють за результатами спостережень чи випробувань.
Так, якщо випробовують N виробів до відмови, то ; , (21)
де μ*, s – статистична оцінка параметрів μ та s.
Імовірність безвідмовної роботи P(t) визначають з (див. [1, стор. 76]) залежно від значень квантилів
. (22)
Математичне сподівання напрацювання до відмови
. (23)
Середнє квадратичне відхилення
(24)
Коефіцієнт варіації
(25)
Для Vt ≤ 0,3 приймають Vt ≈ S і при цьому похибка ≤1 %.
Якщо використати залежності для логарифмічно нормального розподілу в десяткових логарифмах, то одержимо
(26)
Причому для визначення щільності розподілу f(t) lgt0i S визначають за результатами спостережень чи випробувань:
. (27)
Математичне сподівання
(28)
Середнє квадратичне відхилення
. (29)
Коефіцієнт варіації
. (30)
При Vt ≤ 0,3 Vt=2,3 S.
Логарифмічно нормальний розподіл для ймовірності безвідмовної роботи P(t) ≤ 0,99і при Vt ≤ 0,3може замінюватися нормальним розподілом з параметрами mt i St та щільністю розподілу
(31)
Імовірність безвідмовної роботи визначають за допомогою спеціальних таблиць для цього розподілу або таблиць для нормального розподілу (див. [1, стор. 76])) з урахуванням того, що квантиль розраховують за формулою