• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Наближене знаходження сум числових рядів

Обчислення значень полінома. Схема Горнера

Обчислення значень функцій

При обчисленні за допомогою комп’ютерів значень функцій, заданих формулами, далеко не байдуже, у якому вигляді записана відповідна формула. Математично еквівалентні вирази часто виявляються нерівноцінними з погляду наближених обчислень. Тому виникає практично важлива задача про знаходження для елементарних функцій найбільш зручних аналітичних виразів. Обчислення значень функцій звичайно зводиться до послідовності елементарних арифметичних дій. З огляду на обмеженість об’єму пам’яті комп’ютера, бажано ці операції розбивати на повторювані цикли. Нижче ми розглянемо деякі типові прийоми обчислень.

Нехай задано поліном -го степеня

(2.1)

з дійсними коефіцієнтами . Нехай потрібно знайти значення цього полінома при (грецька буква «ксі»):

. (2.2)

Обчислення числа зручніше за все робити в такий спосіб. Представимо формулу (2.2) у вигляді:

.

Звідси, послідовно обчислюючи числа

(2.3)

знаходимо .

Неважко довести (спробуйте це зробити самостійно), що числа є коефіцієнтами полінома , отриманого як частку при діленні даного полінома на двочлен .

Таким чином, формули (2.3) дозволяють, не виконуючи ділення, визначати коефіцієнти частки ,а також остачу . Практично обчислення здійснюються за наступною схемою, яка називається схемою Горнера:

Приклад 1. Обчислити значення полінома

при .

Розв’язок. Складемо схему Горнера:

Зауваження. Користуючись схемою Горнера, можна одержати границі дійсних коренів даного полінома .

Припустимо, що при всі коефіцієнти в схемі Горнера невід’ємні, причому перший коефіцієнт додатний, тобто

(2.4)

Тоді можна стверджувати, що всі дійсні корені полінома розташовані не правіше , тобто (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Справді, тому що

,

то при кожному в силу умови (2.4) будемо мати ,тобто будь-яке число, більше , завідомо не є коренем полінома . Таким чином, маємо верхню оцінку для дійсних коренів полінома.

Для одержання нижньої оцінки коренів складемо поліном

.

Для цього нового полінома знаходимо таке число , щоб всі коефіцієнти у відповідній схемі Горнера були невід’ємні, за винятком першого, котрий, очевидно, буде додатним. Тоді відповідно до попередніх міркувань для дійсних коренів полінома, очевидно, рівних ,маємо нерівність .

Отже, . Таким чином, ми одержали нижню границю дійсних коренів полінома . Звідси випливає, що всі дійсні корені полінома розташовані на відрізку .

Приклад 2. Знайти границі дійсних коренів полінома

.

Розв’язок. Підрахуємо значення полінома , наприклад, при . Користуючись схемою Горнера, одержимо:

Тому що всі коефіцієнти , то дійсні корені полінома (якщо вони існують) задовольняють нерівності . Верхня границя дійсних коренів знайдена. Перейдемо до оцінки нижньої границі. Складемо новий поліном:

.

Підраховуючи значення полінома , наприклад, при , маємо:

Всі коефіцієнти , виходить, .

Отже, всі дійсні корені даного полінома перебувають усередині відрізка .

Означення. Числовий ряд

(2.5)

називається збіжним, якщо існує границя послідовності його часткових сум

, (2.6)

де

.

Число називається сумою ряду.

Таким чином, збіжність ряду (2.5) еквівалентна збіжності послідовності його часткових сум. Відповідно до критерію Коші ця послідовність сходиться тоді й тільки тоді, коли для кожного існує таке, що

при та довільному . З формули (2.6) одержуємо:

(2.7)

де – залишок ряду, причому при .

Для знаходження суми збіжного ряду (2.5) із заданою точністю потрібно вибрати число доданків настільки великим, щоб мала місце нерівність

. (2.8)

Тоді часткова сума приблизно може бути прийнята за точну суму ряду (2.5).

Для оцінки залишку ряду (2.5)

корисні наступні теореми, які ми приводимо без доведення.

Рис. 2.2

Теорема 1. Якщо члени ряду (2.5) являють собою відповідні значення додатної монотонно спадної функції , тобто

(2.9)

то (рис. 2.2)

.

Теорема 2. Якщо ряд (2.5) – знакозмінний:

і модулі його членів монотонно спадають, то

та

.

Приклад. Знайти суму ряду

(2.10)

з точністю до 0,01.

Розв’язок

Члени ряду (2.10) являють собою відповідні значення монотонно спадної функції

.

Тому для -го залишку ряду

маємо оцінку

.

Розв’язуючи нерівність

,

одержимо:

.

Приймемо .

Матимемо:

.

Читайте також:

1. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
2. Алгоритм знаходження оптимального плану
3. Алгоритм знаходження початкового опорного плану
4. Будова артилерійських снарядів.
5. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
6. Види динамічних рядів.
7. Види корабельних нарядів.
8. Визнання урядів у міжнародному публічному праві.
9. Визначення середніх значень динамічних рядів
10. Відмінювання займенників різних семантико-граматичних розрядів
11. Відмінювання різних розрядів числівників
12. Власна енергія зарядів.

Переглядів: 906