• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Множинна лінійна регресія

1. Поняття множинної лінійної регресії. Основні припущення.

2. Знаходження оцінок параметрів методом найменших квадратів.

3. Перевірка моделі на адекватність.

4. Перевірка значимості коефіцієнта множинної лінійної регресії.

5. Перевірка на значимість вибіркового коефіцієнта кореляції.

6. Інтервали довіри та прогнозування за допомогою множинної лінійної регресії.

1. Поняття множинної лінійної регресії.

Основні припущення.

Про дослідженні економічних процесів в багатьох випадках на незалежну (пояснюючу) змінну впливає не один фактор (незалежна змінна), а декілька факторів (незалежних змінних). В таких випадках вважають, що економетрична модель має вигляд множинної регресії. Найпростішою множинною регресією є множинна лінійна регресія. Економетрична модель множинної лінійної регресії має вигляд:

(1), де

– залежна (пояснювальна) змінна

– незалежні (пояснюючі) змінні

– параметри моделі

– випадкова складова

Для знаходження параметрів (коефіцієнтів) моделі задають (вибирають) деяку вибірку:

Виникає задача знаходження по заданій вибірці оцінок (наближених значень) коефіцієнтів регресії

В залежності від властивостей випадкової складової можна використати той чи інший метод знаходження оцінок параметрів моделі.

Нехай випадкова складова задовольняє наступним припущенням:

1. Випадкова складова має нормальний закон розподілу.

2. Математичні сподівання випадкової величини в усіх спостереженнях дорівнюють 0, тобто

3. Дисперсія випадкової величини в усіх спостереженнях є постійною, тобто сталою: , ,

4. Випадкові величини , не залежать одна від одного, тобто ,

5. Вибіркове відхилення та незалежні змінні не зв’язані між собою, тобто:

6. Змінні не залежать одна від одної.

2. Знаходження оцінок параметрів методом найменших квадратів.

Якщо випадкова складова та незалежні змінні задовольняють записаних вище 6 умов, то оцінки параметрів моделі множинної регресії можні знаходити методом найменших квадратів.

Суть методу: оцінки параметрів моделі знаходять з умов: сума квадратів відхилень була найменшою:

Для знаходження потрібно знайти частинні похідні функції F по , прирівняти їх до 0 і знайти розв’язок отриманої системи алгебраїчних рівнянь. Цей розв’язок в матричному вигляді задається наступною формулою:

(2), де - матриця спостереження

– транспонована матриця

Зауваження: для того, щоб оцінки параметрів множинної лінійної регресії були знайдені більш-менш надійно, вважають, що між кількістю елементів у вибірці і кількістю параметрів моделі повинно виконуватись співвідношення .

Якщо знайдені методом найменших квадратів оцінки параметрів моделі, вибіркова регресійна модель множинної лінійної регресії запишеться у вигляді:

(3)

а вибіркове рівняння множинної лінійної регресії має вигляд:

(4)

Для перевірки моделі на адекватність, тобто її значимість, здійснюють перевірку значимості коефіцієнта детермінації. Для цього вибирають критерій:

Вибирають критерій F, де

– кількість елементів у вибірці.

– кількість незалежних змінних, вважають, що цей критерій має розподіл Фішера з ступенями вільності.

Нульова гіпотеза формується у вигляді:

Альтернативна гіпотеза формується у вигляді:

Перевірка на значимість оцінок параметрів здійснюється аналогічно як і для парної лінійної регресії. Для цього спочатку знаходять оцінку дисперсії помилок (залишків) за формулою:

,

потім знаходять дисперсійну-коваріаційну матрицю :

Для кожного коефіцієнта вибирають критерій:

вважають, що кожен з критеріїв має розподіл Ст’юдента з ступенями вільності.

Нульова гіпотеза:

Альтернативна гіпотеза:

Перевірку вибіркового коефіцієнта кореляції на значимість здійснюють за допомогою критерію:

Вважають, що цей критерій має розподіл Ст’юдента з ступенями вільності, а статистичні гіпотези задаються наступним чином:

Інтервали довіри (довірчі інтервали) знаходяться за формулою, аналогічно як і в парній лінійній регресії:

Формули для прогнозу аналогічні:

Точковий прогноз знаходять за формулою:

, де

Інтервальний прогноз за формулою:

У випадку множинної лінійної регресії еластичність впливу кожної із незалежних змінних на кожну змінну визначається частковим середнім коефіцієнтом еластичності:

,

Еластичність впливу всіх незалежних змінних визначають за допомогою загального коефіцієнта еластичності:

Читайте також:

1. Багатомірна лінійна модель регресії.
2. Загальна лінійна оптимізаційна модель Канторовича
3. Засобами композиції є лінії, штриховка (штрих), тонові й кольорові плями, світлотінь, лінійна і повітряна перспективи [5].
4. Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
5. Лінійна модель міжнародної торгівлі
6. Лінійна модель трансферу технологій
7. Лінійна регресія за допомогою функцій, лінійного тренду та пакета аналізу
8. Лінійна рекурентна послідовність, що генерується РЗЛЗЗ
9. Лінійна структура управління
10. Лінійна структура управління
11. Лінійна структура управління
12. Лінійна функція, її властивості та графік.

Переглядів: 4687