Положення площини π в просторі можна визначити через нор-
→
мальний вектор n = OA , початок якого співпадає з початком коор-динат, а кінець знаходиться на площині π. Нехай довжина цього ве-
→
ктора дорівнює p , тобто p = ОА , а кути нахилу цього вектора з осями координат є α,β,γ (мал.45). Значить р є віддаль площини до
→
початку координат. Якщо через n0
→
нормалі n = OA , то коорди-
→
нати n0 будуть
(cosα,cosβ,cosγ). На основі
§8 їх називають направляю-чими косинусами нормаль-ного вектора. Візьмемо до-вільну точку M ( x , y , z ) на
площині π і позначимо ра- х
→ →
діус - вектор OM через r .
позначимо одиничний вектор
π
z
A
M(х,у,z)
γ→ 0
n
→
r
α
β
O
у
Мал.45
→
Тоді Пp→r = p . Тепер на основі формули (2.15) маємо
n0
→
→ →
→
→
r ⋅ n
Пp → r
=
= r ⋅ n0
,
→
n0
бо
→
n0
→
→
= p або
n0
= 1. Значить,ми одержимо,що r
⋅ n0
→
→
r
⋅ n0 − p = 0 .
(2.81)
Рівняння (2.81) називається нормальним рівнянням площини у векторній формі. Розпишемо рівняння (2.81) у координатній формі,
одержимо
x cos α+ y cosβ+ z cos γ− p = 0 .
(2.82).
В цьому рівнянні
p віддаль від площини до початку координат і
сos2α+ cos2 β+ cos2 γ= 1 .
(2.83)
Щоб загальне рівняння площини привести до нормального ви-гляду, потрібно загальне рівняння площини помножити на сталий множник μ . Одержимо μAx + μBy + μCz + μD = 0 , де μA = cos α ,
μB = cosβ,μC = cos γ,μD =− p .
Піднісши перші три рівності до квадрату і додавши їх, врахо-вуючи (2.83), одержимо
μ2 ( A2 + B2 + C 2 ) = 1 ,абоμ= ±
.
(2.84)
A2 + B2 + C 2
В формулі (2.84) необхідно брати знак протилежний знаку ві-льного члена в загальному рівнянні площини, так як μD = − p , де
p -завжди додатне як віддаль.
Отже, щоб рівняння (2.72) привести до нормального вигляду , треба помножити його на нормувальний множник (2.84).