- Гідрологія і Гідрометрія
- Господарське право
- Економіка будівництва
- Економіка природокористування
- Економічна теорія
- Земельне право
- Історія України
- Кримінально виконавче право
- Медична радіологія
- Методи аналізу
- Міжнародне приватне право
- Міжнародний маркетинг
- Основи екології
- Предмет Політологія
- Соціальне страхування
- Технічні засоби організації дорожнього руху
- Товарознавство продовольчих товарів
Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция
Кут між двома прямими
Нехай задано дві прямі l1 і l2 :
| l1 | ⇒ | x − x1 | = | y − y1 | = | z − z1 | , | (2.99) | |||||||||
| m1 | n1 | ||||||||||||||||
| p1 | |||||||||||||||||
| l2 | ⇒ | x − x2 | = | y − y2 | = | z − z2 | . | (2.100) | |||||||||
| m2 | n2 | p2 | |||||||||||||||
| Означення. Кутом між двома прямими l1 і l2 | називається | ||||||||||||||||
| → | |||||||||||||||||
| кут між їх направляючими векторами s1 ( m1 ,n1 , p1 ) і | |||||||||||||||||
| → | |||||||||||||||||
| s2 ( m2 ,n2 , p2 ) . | |||||||||||||||||
| Кут між двома прямими l1 і l2 буде визначатися за форму- | |||||||||||||||||
| лою (2.21) , тобто | m1 m2 | + n1 n2 + p1 p2 | |||||||||||||||
| сosϕ= | . | (2.101) | |||||||||||||||
m12 + n12 + p12 ⋅ 
m22 + n22 + p22
Очевидно, що 0 ≤ ϕ ≤ 1800 .
Якщо прямі (2.99) і (2.100) паралельні, то їх направляючі век-
→ →
тори s1 і s2 колінеарні, то ми одержуємо умову паралельності пря-мих l1 і l2 у вигляді
| m1 | = | n1 | = | p1 | . | (2.102) | |
| m2 | n2 | ||||||
| p2 |
Умова (2.102) є умовою паралельності прямих l1 і l2 . Якщо прямі l1 і l2 взаємно-перпендикулярні , то направляючі вектори
→
s1 ( m1 ,n1 , p1 ) і s2 ( m2 ,n2 , p2 ) також перпендикулярні,тобто їх
→
скалярний добуток s1⋅ s2 = 0 . Звідси
| m1 m 2 +n1 n2 + p1 p2 = 0 . | (2.103) |
Умова (2.103) є умовою перпендикулярності двох прямих l1 і l2 у просторі.
| 18.5. Взаємне розміщення прямої і площини | ||||||||
| Нехай задана пряма l | ||||||||
| x − x0 | = | y − y0 | = | z − z0 | (2.104) | |||
| m | n | p | ||||||
| і площина | ||||||||
| Ax + By + Cz + D = 0 . | (2.105) |
Пряма l паралельна до площини π тоді і тільки тоді, коли її
→
направляючий вектор s ( m ,n, p )перпендикулярний до нормального
→
вектора n( A, B,C ) площини. Тоді їх скалярний добуток дорівнює
| нулю | |
| Аm + Bn + Cp = 0 . | (2.106) |
Умова (2.106) є умовою паралельності прямої і площини. Якщо пряма l перпендикулярна до площини π , то направля-
→
ючий вектор прямої s ( m ,n, p ) і нормальний вектор площини
→
n( A, B,C ) паралельні,тобто
| A | = | B | = | C | . | (2.107) | |
| m n p |
Умова (2.107) є умовою перпендикулярності прямої і площини. Кутом між прямою l і площи-
ною π називається кут ϕ ≤ ϕ ≤ π
π − ϕ
( 0 ),
який утворений прямою l з її проек-цією на площину (мал.49). З малюнка 49 видно, що кут між нормальним
→
вектором n( A, B,C ) площини і на-
→
правляючим вектором s ( m ,n, p )
прямої дорівнює π − ϕ , а якщо век-
→ 2
n
φ
π
l
→
s
Мал.49
→
тор s має напрям протилежний як показано на малюнку , то кут
| →→ | буде дорівнювати π + ϕ . В обох цих випад- | ||||||
| між векторами n і s | |||||||
| ках sin ϕ ≥ 0 , тому | |||||||
| → → | |||||||
| sin ϕ=| cos( π− ϕ ) |=| cos( π | +ϕ ) |= | | n⋅ s | . Значить | ||||
| →→ | |||||||
| | n || s | | |||||||
| sin ϕ= | | Am + Bn + Cp | | . | (2.108) | ||||
| A2 | + B2 + C 2 ⋅ | m2 + n2 + p2 | |||||
Формула (2.108) є формулою для знаходження кута між пря-
мою (2.104) і площиною (2.105).
Приклад 1.Знайти кут між площиною3 x−2 y+z+4=0і
| прямою | 3 x − z + 1 = 0 , | |
| = 0. | ||
| 2 x − y − 3 |
Розв’язування. Рівняння прямої приведено до канонічного ви-
гляду. Із першого рівняння знаходимо x = z − 1 , а з другого рівнян-
3
ня x = y + 3 , значить канонічний вид рівняння прямої буде
2
x = y + 3 = z − 1 . Таким чином, направляючий вектор прямої
123
| → | → | ||||
| s ( 1;2;3 ) ,а нормальний вектор площини n( 3;−2;1 ) .Тепер за фо- | |||||
| рмулою (2.108) знаходимо | |||||
| sin ϕ= | 3 ⋅ 1 + ( −2 )⋅ 2 + 3 ⋅ 1 | = | ≈ 0 ,1428 ,ϕ ≈ 8015′. | ||
| 1 + 4 + 9 ⋅ 9 + 4 + 1 14 |
Читайте також:
- Вимірювання електричної потужності прямими методами
- Вирішити дану проблему у бюджетуванні можна двома основними способами.
- Виробнича функція з двома змінними факторами
- Виробнича функція з двома змінними факторами
- Груповий брак - брак між двома або великим числом чоловіків і двома або великим числом дружин.
- Державне регулювання економіки може здійснюватися двома способами.
- Західноукраїнські землі між двома війнами.
- Західноукраїнські землі між двома світовими війнами
- Коефіцієнт зв’язку між двома ознаками.
- Кут між двома векторами.
- Кут між двома площинами.
- Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.
| <== попередня сторінка | | | наступна сторінка ==> |
| Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки | | | Криві другого порядку |
|
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: |
© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове. |