Еліпс і його рівняння

b² = a² − c² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9,

Підставляючи a = 5 ,b = 3 в рівняння (2.124), одержимо

Означення2. Еліпсом називається множина точок площи-ни, сума віддалей від яких до двох заданих точок, які називають-ся фокусами, є величина стала.

				Виходячи із означення 2,
	у
B₁	M(x,y)		виведемо рівняння еліпса. Нехай

				задані дві точки, які називаються
^A2 F2		F₁	1 x	фокусами, F₁ і F₂, віддаль між
	якими позначимо через 2с (фока-
B₂		Мал.52	льна віддаль) (мал.52). Через фоку-
				си проведемо пряму, яку візьмемо

за вісь абсцис, а за вісь ординат візьмемо пряму перпендикулярну до вісі OX , яка проходить через середину відрізка F₁F₂ (точка 0).

Оскільки віддаль між фокусами прийняли за 2с, то координати фо-кусів будуть відповідно F₁( c ,0 ) і F₂( −c ,0 ).

Нехай M ( x , y ) довільна точка еліпса. Відрізки F₁M і F₂M ,

які з’єднують точку еліпса з його фокусами називають фокальними радіус-векторами цієї точки і позначають r₁ і r₂ . Тоді r₁ + r₂ є вели-

чина стала за означенням, позначимо її через 2а:
r₁ + r₂ = 2a	(2.114)

(2а>2с, тому, що в трикутнику F₁MF₂ сума двох сторін більша за

третю). Покажемо, якому рівнянню задовольняють координати точ-

ки M(x,y).

Знайдемо r₁ і r₂ :

r	=	( x − c )² + y² ,	(2.115)

r	=	( x + c )² + y² .	(2.116)

Підносячи обидві частини (2.115) і (2.116) до квадрату і відні-
маючи, одержимо
r ² − r ² = 4cx .	(2.117)

Розписавши різницю квадратів в (2.117) і враховуючи (2.114), одержимо

r₂ − r₁ = 2 ^c x . a

Розглянемо систему з рівнянь (2.114) і (2.118):

(2.118)

(2.119)

(2.120)

(2.121)

Підставимо	(2.121)			в	(2.116),	одержимо
a² + 2cx +	c²	x² = x²	+ 2cx + c²	+ y² ,або

	_a2
			a² − c² = x² ( 1 −	c²	) + y² .	(2.122)
			a²

Позначимо			a² − c² = b²	(2.123)
і тоді (2.122) перепишемо після простих перетворень у вигляді
				x²	+	y²	= 1 .	(2.124)
				a²
					b²

Рівняння (2.124) є канонічним рівнянням еліпса.

Це рівняння другого степеня, значить, еліпс крива другого по-рядку. Рівняння (2.124) містить x і y в парних степенях, значить

крива, яка визначається цим рівнянням симетрична відносно осей 0 x і 0 y. Осі симетрії еліпса називають його осями.Точку 0 нази-

вають центром еліпса. Із рівняння (2.124) знайдемо y :

y = ±b 1 −	x²	= ±	b	a² − x² .	(2.125)
a²	a

Так як у, який знаходиться в першому квадранті є додатній, то
y =	b		a² − x² .	(2.126)
a

З рівності (2.126) видно, якщо x = 0 , то y = b і при зростанні x від нуля до a , y спадає від b до нуля.

В першому квадранті частина еліпса це дуга A₁B₁ . Якщо про-вести дзеркальне відображення цієї дуги відносно осей координат,

відрізки відповідно називаються великою і малою осями еліпса. Ві-дповідно a і b - велика і мала піввісь еліпса.

Означення3. Ексцентриситетом еліпса називається від-ношення віддалі між фокусами до довжини великої осі.

Позначимо ексцентриситет через ε , то тоді
ε =	2с	=	c	< 1 .	(2.127)

	2a a
Якщо a = b ( ε = 0 ) , то еліпс перетворюється в коло. Підста-
вимо (2.127) в (2.120) і (2.121), то одержимо
r₁ = a − εx ,	(2.128)
r₂ = a +εx .	(2.129)
Ці формули використовуються при розв’язуванні задач.

Приклад 3.Скласти канонічне рівняння еліпса,знаючи,щовелика вісь 2a = 10 , а ексцентриситет ε = 0 ,8.

Розв’язування. З рівняння(2.127)знайдемоc.Знаючи,щоa = 5 , c = a ⋅ ε= 5 ⋅ 0 ,8 = 4. А тепер знайдемо b з рівності(2.123)

25 9

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Коло і його рівняння	\|	Гіпербола та її рівняння

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.015 сек.