Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Еліпс і його рівняння

 

Означення2. Еліпсом називається множина точок площи-ни, сума віддалей від яких до двох заданих точок, які називають-ся фокусами, є величина стала.

        Виходячи із означення 2,  
  у      
B1 M(x,y)   виведемо рівняння еліпса. Нехай  
     
        задані дві точки, які називаються  
A2 F2   F1 1 x фокусами, F1 і F2, віддаль між  
  якими позначимо через (фока-  
B2   Мал.52 льна віддаль) (мал.52). Через фоку-  
        си проведемо пряму, яку візьмемо  

за вісь абсцис, а за вісь ординат візьмемо пряму перпендикулярну до вісі OX , яка проходить через середину відрізка F1F2 (точка 0).

 

Оскільки віддаль між фокусами прийняли за , то координати фо-кусів будуть відповідно F1( c ,0 ) і F2(c ,0 ).

 

Нехай M ( x , y ) довільна точка еліпса. Відрізки F1M і F2M ,

які з’єднують точку еліпса з його фокусами називають фокальними радіус-векторами цієї точки і позначають r1 і r2 . Тоді r1 + r2 є вели-


 


чина стала за означенням, позначимо її через 2а:  
r1 + r2 = 2a (2.114)

(2а>2с, тому, що в трикутнику F1MF2 сума двох сторін більша за

 

третю). Покажемо, якому рівнянню задовольняють координати точ-

 

ки M(x,y).

Знайдемо r1 і r2 :

r = ( x − c )2 + y2 , (2.115)
     
r = ( x + c )2 + y2 . (2.116)
     
Підносячи обидві частини (2.115) і (2.116) до квадрату і відні-
маючи, одержимо      
r 2 r 2 = 4cx . (2.117)
   

Розписавши різницю квадратів в (2.117) і враховуючи (2.114), одержимо


r2 r1 = 2 c x . a

Розглянемо систему з рівнянь (2.114) і (2.118):

r1 + r2 = 2a ,  
              c      
r − r = 2       x.  
       
          a  
               
З цієї системи знаходимо                      
    r = a   c   x ,  
         
          a  
             
    r = a + c x .  
       
            a  
               

 

(2.118)

 

(2.119)

 

(2.120)

 

(2.121)


Підставимо (2.121)     в (2.116), одержимо  
a2 + 2cx + c2 x2 = x2 + 2cx + c2 + y2 ,або      
       
  a2                  
      a2 c2 = x2 ( 1 c2 ) + y2 . (2.122)  
      a2  
                     
Позначимо     a2 c2 = b2 (2.123)  
і тоді (2.122) перепишемо після простих перетворень у вигляді  
        x2 + y2 = 1 .   (2.124)  
        a2      
          b2      

 


Рівняння (2.124) є канонічним рівнянням еліпса.

 

Це рівняння другого степеня, значить, еліпс крива другого по-рядку. Рівняння (2.124) містить x і y в парних степенях, значить

 

крива, яка визначається цим рівнянням симетрична відносно осей 0 x і 0 y. Осі симетрії еліпса називають його осями.Точку 0 нази-

 

вають центром еліпса. Із рівняння (2.124) знайдемо y :

y = ±b 1 x2 = ± b a2 x2 . (2.125)  
a2 a  
             
Так як у, який знаходиться в першому квадранті є додатній, то  
y = b   a2 x2 . (2.126)  
a  
             

З рівності (2.126) видно, якщо x = 0 , то y = b і при зростанні x від нуля до a , y спадає від b до нуля.

 

В першому квадранті частина еліпса це дуга A1B1 . Якщо про-вести дзеркальне відображення цієї дуги відносно осей координат,

то ми одержимо весь еліпс (мал.52).      
Якщо в рівнянні (2.124) y = 0 , то x = ±a , a якщо x = 0 , то
y = ±b. Значить вершинами еліпса є точки A1( a ,0 ), A2(a ,0 ),
B1 ( 0 ,b ), B2 ( 0 ,−b ). Відрізок A2 A1 = 2a , а відрізок B2 B1 = 2b. Ці
         

відрізки відповідно називаються великою і малою осями еліпса. Ві-дповідно a і b - велика і мала піввісь еліпса.

 

Означення3. Ексцентриситетом еліпса називається від-ношення віддалі між фокусами до довжини великої осі.

Позначимо ексцентриситет через ε , то тоді    
ε = = c < 1 . (2.127)  
     
  2a a    
Якщо a = b ( ε = 0 ) , то еліпс перетворюється в коло. Підста-  
вимо (2.127) в (2.120) і (2.121), то одержимо    
r1 = a − εx , (2.128)  
r2 = ax . (2.129)  
Ці формули використовуються при розв’язуванні задач.    

Приклад 3.Скласти канонічне рівняння еліпса,знаючи,щовелика вісь 2a = 10 , а ексцентриситет ε = 0 ,8.


 

 


Розв’язування. З рівняння(2.127)знайдемоc.Знаючи,щоa = 5 , c = a ⋅ ε= 5 0 ,8 = 4. А тепер знайдемо b з рівності(2.123)

 

b2 = a2 c2 = 52 42 = 25 16 = 9, b = 3.  
Підставляючи a = 5 ,b = 3 в рівняння (2.124), одержимо  
  x2 + y2 = 1.    
         

25 9


Читайте також:

  1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
  2. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
  3. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
  4. В обох випадках основним розрахунковим рівнянням є рівняння теплопередачі і теплового балансу
  5. Вивід основного рівняння фільтрації
  6. Використання рівняння номінальних витрат за моделлю COCOMO II
  7. ВПРАВА 2. Утворіть де можливо, форми ступенів порівняння від поданих прикметників.
  8. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
  9. Гіпербола та її рівняння
  10. Головне рівняння відцентрового насоса. Теоретичний напір.
  11. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
  12. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.




Переглядів: 930

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Коло і його рівняння | Гіпербола та її рівняння

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.015 сек.