Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Означення границі функції

В багатьох прикладних задачах потрібно знайти значення

функції f(x) при прямуванні неперервного аргументу x до деякої то-чки x₀ , в якій функція може бути і невизначена. Така поведінка фу-

нкції в деякій точці x₀ називається границею функції в точці x₀ . Оскільки x₀ може бути як скінченим числом, та і дорівнювати

±∞ , то приведемо декілька означень границі функції.

Означення	1.	Число	A	називається границею функції
y = g( x ) , коли	x → ∞ і позначається lim g( x ) = A , якщо для
						x → ∞
довільного як завгодно малого додатного	ε> 0 можна вказати
таке додатне число	М , що з нерівності	x > M випливає нерів-
ність		g( x ) − A		<ε .

Коли x → −∞ ,	то означення границі функції аналогічне і ви-
користовують позначенняlim g( x ) = A.
					x → −∞
Означення	2.	Число	A	називається границею функції
f ( x ) при x , що прямує до x₀ , якщо для будь-якої послідовності
значень аргументу x₁ , x₂ ,..., x_n ,..., збіжної до x₀ , відповідна пос-
лідовність значень функції	f ( x₁ ), f ( x₂ ),..., f ( x_n ),... збігається
до A .		Число		називається границею функції
Означення	3.	A

f ( x ) при x , що прямує до x₀ ( x ≠ x₀ ), якщо для будь-якого мало-

го наперед заданого додатного ε можна вказати таке додатне
число δ , що із нерівності		x − x₀		< δ	випливає нерівність

	f ( x ) − A		<ε .	lim f ( x ) = A .

	Коротко це означення записують так:
						x → x₀
	Слід відмітити, що теореми про границю суми, різниці, добут-

ку і частки для числових послідовностей (функцій цілочисельного аргументу x_n = f ( n ),n∈ N є справедливими і для функцій непе-

рервного аргументу, а саме:

ТЕОРЕМА. Нехай на множині X задані функції f ( x ) іϕ( x ) , x₀ −гранична точка множиниXі в точці x₀ обидві фун-

кції мають скінчені границі lim	f ( x ) = а , lim ϕ( x ) = b. Тоді
	x→ x₀	x → x₀
1) lim ( f ( x )±ϕ( x ))=lim f ( x )±limϕ( x )=a±b;
x → x₀	x → x₀	x → x₀

2)	lim f ( x )ϕ( x ) =	lim	f ( x )⋅ lim ϕ( x ) = a ⋅ b;
	x → x₀	x → x₀	x → x₀
				f ( x )		lim f ( x )	a
3)	якщо limϕ( x )=b≠0 , то lim	=	x → x₀		=	.
ϕ( x )	lim	ϕ( x )	b
	x → x₀		x → x₀
						x → x₀

При знаходженні границь функції будемо користуватися тим, що для основних елементарних функцій в будь-якій точці із області

визначення

має

місце

рівність

lim

f ( x ) = f ( lim x ),

тобто

x → x₀

lim f ( x ) = f ( x₀ ).

x → x₀

Наприклад,

lim

f ( x² + 4 x ) = x₀

² + 4 x₀ .

x → x₀

Розглянемо декілька способів обчислення границь.

Приклад 1.

(

∞

) .Знайти

lim

5 x +

1 + 4 x²

∞

5 x +

x → ∞

Розв’язування. Розділивши чисельник і знаменник на

x ,оде-

5 +

+ 4

5 x + 1 + 4 x²

ржимо

x²

5 x + 8

5 +

Тепер, використовуючи основні теореми про границі та домо-

вленість, що

lim

= 0 , n∈N,

a ≠ 0 ,маємо

x→∞ xⁿ

5 +

+ 4

lim

5 x + 1 + 4 x

= lim

x²

5 + 0 + 4

5 + 2

+ 8

5 + 0

x→∞5 x

x → ∞

Приклад 2.

(

) .Знайти

lim

_x2

− 9

² − 5 x +

x → 3 _x

Розв’язування. В результаті безпосередньої підстановкиx=3

у даний дріб маємо невизначеність ( ⁰) . Тому, використовуючи фо-

рмули розкладу, зробимо такі перетворення:

x² − 9

( x + 3 )( x − 3 )

x + 3

, x ≠ 3.

x² − 5 x + 6 ( x − 2 )( x − 3 ) x − 2

Таким чином,

lim

x² − 9

= lim

x + 3

3 + 3

= 6.

x → 3 _x²

− 5 x + 6

^x → ³ x − 2 3 − 2

Приклад 3. (

). Знайти lim

1 + 5 x −

1 − 5 x

x →0

Розв’язування. Аналогічно,як у прикладі2,підстановка нуля

замість x у заданий вираз дає невизначеність ( ⁰) . Перетворимо

дріб таким чином: помножимо чисельник і знаменник дробу на ви-раз, спряжений до чисельника, а потім скоротимо дріб. В результаті одержимо

1 + 5 x − 1 − 5 x

( 1 + 5 x − 1 − 5 x )( 1 + 5 x + 1 − 5 x )

x( 1 + 5 x + 1 − 5 x )

1 + 5 x − 1 + 5 x

x( 1 + 5 x + 1 − 5 x )

1 + 5 x

1 − 5 x

На основі одержаного результату маємо

lim

1 + 5 x −

1 − 5 x

= lim

= 5.

+ 5 x + 1 − 5 x

x →0

x →0 ₁

1 + 1

4.2. Односторонні границі.

Нехай x₀ − точка числової осі. Зрозуміло, що запису x → x₀

можна дати таке тлумачення: точки

x наближаються до точки x₀

зліва, коли

x < x₀ і справа,коли

x > x₀ .Отже,на числовій осі на-

ближення точок x до точки x₀ може бути двостороннім. Якщо при знаходженні границі функції f ( x ) при умові, що x → x₀ і x приймає тільки значення менші від x₀ (більші від x₀ ) і якщо така

границя існує, то її називають лівостороньою (правостороньою) границею функції f ( x ) . Лівосторонні і правосторонні границі поз-

начають символом:

limf ( x ) = f ( x₀ − 0 ) ( lim f ( x ) = f ( x₀ + 0 )) .

x → x₀ − 0x → x₀ + 0

ТЕОРЕМА 1. Функція f ( x ) в точці x₀ має границю тоді і тільки тоді, коли в цій точці функція f ( x ) має праву і ліву ( f ( x₀ + 0 ) і ( f ( x₀ − 0 ) ) границі і права границя дорівнює лівійграниці ( f ( x₀+0 )=f ( x₀−0 )).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Нескінчено малою.	\|	Перша визначна границя

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.