Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Приклад 26.

  Z     Z → ∞ . Це є розбіжний інтеграл.  
dx = lim dx = lim ln x    
x x  
Z → ∞ Z → ∞        
       
                 
                 
    Приклад 27.Обчислити dx  
    p  
            x  
                 

                 
Розв’язування.   dx =  
p  
              x  
               
               
якщо р<1,       dx = lim  
    p    
    x           Z → ∞  
p>1,     dx = lim  
  x p      
            Z → ∞  
                 
              Z  
p=1,   dx = Zlim→∞  
     
    x          

 

 

      Z                          
lim   dx .Досліджуємо цю границю:  
p  
Z → ∞ x                    
Z           p+ 1                
          x         Z      
                       
  dx = lim               → ∞ ;      
p              
x       Z → ∞ 1 p              
               
Z           x p+ 1           Z = 0    
  dx = lim           ;  
p                
x       Z → ∞ 1 p   1 − p  
         
                                 

1 dx = lim ln x Z → ∞.

x Z → ∞ 1


 


Значить, даний інтеграл розбіжний при p1 і збіжний при p>1. Його часто використовують при дослідженні рядів на збіжність.

 

§ 4.Застосування визначених інтегралів

4.1. Обчислення площ

 

Площа фігури, яка обмежена графіком функції y=f(x) прямими x=a і x=b,а також віссю Ox,визначається за формулою

b

S = f ( x )dx .Площа ж фігури,яка обмежена графіками функцій

a                                              
y = fв( x ) та y = fн( x ) ( fв( x )fн( x ) ),прямими x = a і x = b  
визначається за формулою                                  
        b                                  
    S =( fв( x ) fн( x ))dx . (6.48)  
        a                                  
Приклад 28.Знайти площу фігури,обмеженої лініямиу=2-х2,  
у=х. (мал. 10).                                              
Розв’язування.а)Будуємо ескіз               В( 0;2 )  
графіків функцій: у=2-х2,                            
                                       
( парабола, яка перетинає вісь Ох                  
в точках А1( 2 ;0) і А2(- 2 ;0),   А2 ( 2 ;0 )     А1( 2 ;0 )  
вершина параболи знаходиться в                  
точці В(0;2)), у=х- пряма,                                  
бісектриса 1- го і 3-го координат-                  
            Мал. 10  
них кутів.                                              
                                             
б) Знайдемо точки перетину графіків даних функцій (межі  
інтегрування). Розв’яжемо рівняння: 2-х2=х; 2-х+2=0.            
Одержуємо розв’язки: х1= 1, х2= -2.                  
в) далі, за формулою (6.46) обчислюємо площу фігури:            
  x3     x2                      
                           
S =(2 x2 x)dx=(2x   ) =(2 )−( 4+ 2)= (кв. од.).  
                   
−2     2 3 2      
                                         
Приклад 29.Обчислити площу фігури,обмеженої лініями,  
y = sin x , у=0, x =π , x = .                            
                             
                                     

Розв’язування.Будуємо графіки функцій(мал.11).Записуємо фор-


 


        b            
мулу для знаходження площі S = ( fв( x )fн( x ))dx . Бачимо, що    
        a            
fв( x ) записати одним виразом неможливо. Верхня межа даної площі,  
складається з двох: y = sin x ( на у          
інтервалі ( π ;π ) ) та у=0 (на інтервалі   В      
          А С    
( π; 3π ) ). y =π       О х  
є нулем функції π π E  
            D Мал.11  
y = sin x .Тому              
  π   π     π  
                 
               
S = SABC + SCDE =(sin x 0 )dx +( 0 sin x )dx =− cos x   π + cos x =  
    π   π       π  
             
                 
                       
=−(1 + 0 ) + ( 0 + 1 ) = 2( кв.од.) .                    
                     
           
Інтеграл же 2 (sin x − 0 )dx = 0 . Тому, при застосуванні визначеного  
  π                      
                                           

 

 

інтеграла, для знаходження площ, необхідно враховувати нулі функцій, які обмежують площу (мал.3). Проміжок інтегрування, врахувавши нулі функцій, розбивають, і тоді шукана площа дорівнює сумі абсолютних величин відповідних визначених інтегралів.

 


Читайте також:

  1. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
  2. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад
  3. Аналіз структури та динаміки необоротних активів за даними Ф№1 «Баланс» (на прикладі ВАТ «Горизонт»)
  4. Базові та прикладні класифікації
  5. В процесі читання виділіть маркером або підкресліть приклади дії променів на живі організми.
  6. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
  7. Визначення і приклади
  8. ВПРАВА 11. Ознайомтеся з фрагментами наукових текстів, знайдіть приклади для характеристики синтаксичних особливостей викладу інформації українською мовою.
  9. Врахування витраті втрат електроенергії. Приклад складання електробалансу.
  10. Головною метою наукової діяльності в системі вищої освіти повинен стати розвиток фундаментальних та приклад­них досліджень.
  11. Декоративно-прикладне мистецтво та центри народних промислів
  12. Деякі приклади застосування ППП




Переглядів: 524

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Невласні інтеграли та їх знаходження | Задача про розподіл доходів населення держави

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.