Приклад 26.
∞
Z
Z → ∞ . Це є розбіжний інтеграл.
∫
dx = lim
∫
dx = lim ln x
x
x
Z → ∞
Z → ∞
∞
Приклад 27.Обчислити∫
dx
p
x
∞
Розв’язування .
∫
dx =
p
x
∞
якщо р<1 , ∫
dx = lim
p
x
Z → ∞
p>1,
∞
dx = lim
∫
x
p
Z → ∞
∞
Z
p=1,
∫
dx = Z lim →∞ ∫
x
Z
lim
∫
dx .Досліджуємо цю границю:
p
Z → ∞
x
Z
− p + 1
x
Z
∫
dx = lim
→ ∞ ;
p
x
Z → ∞ 1 − p
Z
x − p + 1
Z = 0 −
∫
dx = lim
;
p
x
Z → ∞ 1 − p
1 − p
1 dx = lim ln x Z → ∞.
x Z → ∞ 1
Значить, даний інтеграл розбіжний при p ≤ 1 і збіжний при p>1 . Його часто використовують при дослідженні рядів на збіжність.
§ 4 .Застосування визначених інтегралів
4.1. Обчислення площ
Площа фігури, яка обмежена графіком функції y=f(x) прямими x=a і x=b ,а також віссю Ox ,визначається за формулою
b
S =∫ f ( x )dx .Площа ж фігури,яка обмежена графіками функцій
a
y = fв ( x ) та
y = fн ( x )
( fв ( x ) ≥fн ( x ) ),прямими
x = a і x = b
визначається за формулою
b
S =∫ ( fв ( x ) − fн ( x ))dx .
(6.48)
a
Приклад 28.Знайти площу фігури,обмеженої лініямиу =2-х2 ,
у=х. (мал. 10).
Розв’язування .а)Будуємо ескіз
В( 0;2 )
графіків функцій: у =2-х2 ,
( парабола, яка перетинає вісь Ох
в точках А1 (
2 ;0) і А2 (-
2 ;0),
А2 ( −
2 ;0 )
А1 ( 2 ;0 )
вершина параболи знаходиться в
точці В(0;2) ), у =х- пряма,
бісектриса 1- го і 3-го координат-
Мал. 10
них кутів.
б) Знайдемо точки перетину графіків даних функцій (межі
інтегрування). Розв’яжемо рівняння: 2-х2 =х ; -х2 -х+2 =0.
Одержуємо розв’язки: х1 = 1 , х2 = -2.
в) далі, за формулою (6.46) обчислюємо площу фігури:
x3
x2
S =∫ (2 − x2 − x)dx =(2x −
−
)
=(2 −
−
)−( − 4 +
− 2) =
(кв. од.).
−2
− 2
3 2
Приклад 29.Обчислити площу фігури,обмеженої лініями,
y = sin x , у=0 , x =π , x =
3π
.
Розв’язування .Будуємо графіки функцій(мал.11).Записуємо фор-
b
мулу для знаходження площі S = ∫ ( fв ( x ) − fн ( x ))dx . Бачимо, що
a
fв ( x ) записати одним виразом неможливо.
Верхня межа даної площі,
складається
з двох:
y = sin x
( на
у
інтервалі ( π ; π ) ) та у=0 (на інтервалі
В
3π
А
С
( π; 3 π ) ).
y =π
О
х
є
нулем функції
π
π
E
D Мал.11
y = sin x .Тому
π
3π
π
π
S = SABC + SCDE =∫ (sin x − 0 )dx +∫ ( 0 − sin x )dx =− cos x
π
+ cos x
=
π
π
π
=−( −1 + 0 ) + ( 0 + 1 ) = 2( кв.од.) .
3π
Інтеграл же ∫ 2
(sin x − 0 )dx = 0 .
Тому, при застосуванні
визначеного
π
інтеграла, для знаходження площ, необхідно враховувати нулі функцій, які обмежують площу (мал.3). Проміжок інтегрування, врахувавши нулі функцій, розбивають, і тоді шукана площа дорівнює сумі абсолютних величин відповідних визначених інтегралів.
Читайте також:
Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад Аналіз структури та динаміки необоротних активів за даними Ф№1 «Баланс» (на прикладі ВАТ «Горизонт») Базові та прикладні класифікації В процесі читання виділіть маркером або підкресліть приклади дії променів на живі організми. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади. Визначення і приклади ВПРАВА 11. Ознайомтеся з фрагментами наукових текстів, знайдіть приклади для характеристики синтаксичних особливостей викладу інформації українською мовою. Врахування витраті втрат електроенергії. Приклад складання електробалансу. Головною метою наукової діяльності в системі вищої освіти повинен стати розвиток фундаментальних та прикладних досліджень. Декоративно-прикладне мистецтво та центри народних промислів Деякі приклади застосування ППП
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: