Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Приклад 26.

∞			Z	^Z → ∞ . Це є розбіжний інтеграл.
∫	dx = lim	∫	dx = lim ln x
x	x
	Z → ∞		Z → ∞


				∞
		Приклад 27.Обчислити_∫	dx
		p
				x

							∞
Розв’язування.		∫	dx =
p
								x
	∞

якщо р<1, _∫				dx = lim
		p
			x						Z → ∞
p>1,	∞				dx = lim
∫		x	p
						Z → ∞

	∞								Z
p=1,	∫		^dx⁼_Z^lim_→∞∫

			x

lim

∫

dx .Досліджуємо цю границю:

Z → ∞

− p+ 1

∫

dx = lim

→ ∞ ;

Z → ∞ 1 − p

_x− p+ 1

^Z = 0 −

∫

dx = lim

;

^Z → ∞ 1 − p

1 − p

¹dx = lim ln x ^Z → ∞.

_xZ → ∞ ₁

Значить, даний інтеграл розбіжний при p≤1 і збіжний при p>1. Його часто використовують при дослідженні рядів на збіжність.

§ 4.Застосування визначених інтегралів

4.1. Обчислення площ

Площа фігури, яка обмежена графіком функції y=f(x) прямими x=a і x=b,а також віссю Ox,визначається за формулою

S =_∫ f ( x )dx .Площа ж фігури,яка обмежена графіками функцій

y = f_в( x ) та

y = f_н( x )

( f_в( x )≥f_н( x ) ),прямими

x = a і x = b

визначається за формулою

S =_∫( f_в( x ) − f_н( x ))dx .

(6.48)

Приклад 28.Знайти площу фігури,обмеженої лініямиу=2-х²,

у=х. (мал. 10).

Розв’язування.а)Будуємо ескіз

В( 0;2 )

графіків функцій: у=2-х²,

( парабола, яка перетинає вісь Ох

в точках А₁(

2 ;0) і А₂(-

2 ;0),

А₂ ( −

2 ;0 )

А₁( 2 ;0 )

вершина параболи знаходиться в

точці В(0;2)), у=х- пряма,

бісектриса 1- го і 3-го координат-

Мал. 10

них кутів.

б) Знайдемо точки перетину графіків даних функцій (межі

інтегрування). Розв’яжемо рівняння: 2-х²=х; -х²-х+2=0.

Одержуємо розв’язки: х₁= 1, х₂= -2.

в) далі, за формулою (6.46) обчислюємо площу фігури:

x³

x²

S =_∫(2− x² − x)dx=(2x−

−

)

=(2−

−

)−(− 4+

− 2)=

(кв. од.).

−2

− 2

3 2

Приклад 29.Обчислити площу фігури,обмеженої лініями,

y = sin x , у=0, x =^π , x =

3π

Розв’язування.Будуємо графіки функцій(мал.11).Записуємо фор-

мулу для знаходження площі S = _∫( f_в( x ) − f_н( x ))dx . Бачимо, що

f_в( x ) записати одним виразом неможливо.

Верхня межа даної площі,

складається

з двох:

y = sin x

( на

інтервалі ( ^π ;π ) ) та у=0 (на інтервалі

3π

( π; ³^π ) ).

y =π

нулем функції

^D Мал.11

y = sin x .Тому

3π

S = S_ABC + S_CDE =_∫(sin x − 0 )dx +_∫( 0 − sin x )dx =− cos x

+ cos x

=−( −1 + 0 ) + ( 0 + 1 ) = 2( кв.од.) .

3π

Інтеграл же _∫²

(sin x − 0 )dx = 0 .

Тому, при застосуванні

визначеного

інтеграла, для знаходження площ, необхідно враховувати нулі функцій, які обмежують площу (мал.3). Проміжок інтегрування, врахувавши нулі функцій, розбивають, і тоді шукана площа дорівнює сумі абсолютних величин відповідних визначених інтегралів.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Невласні інтеграли та їх знаходження	\|	Задача про розподіл доходів населення держави

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.017 сек.