При означенні ∫f ( x )dx передбачалось виконання умов:
a
1. проміжок інтегрування [а,b] - скінчений.
2. підінтегральна функція f(x) визначена і неперервна на [а,b] .
В випадку коли хоча б одна з умов не виконується, інтеграл називається невласним. Розглянемо два найпростіші випадки.
Інтеграл з нескінченними межами інтегрування
Означення6. Нехай f(x) визначена на [а,∞) і інтегровна на [а , Z ] , де [а , Z ] -будь- який скінчений проміжок. Тоді
∞
Ζ
∫ f ( x )dx=
Ζlim→∞∫ f ( x )dx,
(6.47)
a
a
Невласний інтеграл з нескінченними межами інтегрування.
Z
За формулою Ньютона-Лейбніца ∫f ( x )dx = F ( Z ) − F ( a ) .
a
Якщо, при Z → ∞ (F ( Z ) − F ( a )) має скінчену границю, то ця границя буде визначена, і інтеграл даної функції на ( a , ∞ )
∞
Z
дорівнює
∫
f ( x )dx = lim
f ( x )dx = lim ( F ( z ) − F ( a )).
Z → ∞∫
Z → ∞
a
a
в
Аналогічно розглядається і інтеграл виду ∫f ( x )dx
− ∞
∞
У випадку, коли потрібно обчислити інтеграл
∫ f ( x )dx
його роз-
− ∞
∞
c
∞
бивають на суму двох ∫f ( x )dx = ∫f ( x )dx + ∫f ( x )dx
і обчис-
− ∞
− ∞
c
люють кожен інтеграл окремо.
3.2. Інтеграл від розривної функції
Нехай
f ( x ) визначена на
[a ,b)і має точку розриву при x = b .
b
b− ε
Отже ∫f ( x )dx = limε→0∫ f ( x )dx
- відповідний невласний інтеграл
a
a
від розривної функції. Якщо f(x) визначена на (a,b] і x=a точка роз-
b
b
риву, то ∫f ( x )dx = limε→0
∫ f ( x )dx .Якщо ж
f ( x ) має точку розри-
a
a +ε
b
с−ε
в
ву с∈ (a ,b) , то ∫f ( x )dx = limε→0∫f ( x )dx + limε→0
∫ f ( x )dx .
a
a
с+ε
Якщо для інтегралів пунктів (6.3.1) і (6.3.2) відповідні їм границі існують, то інтеграли називаються збіжними. Якщо границі не іс-нують або нескінченні, то інтеграли називаються розбіжними.