Невласні інтеграли та їх знаходження

При означенні _∫ f ( x )dx передбачалось виконання умов:

1. проміжок інтегрування [а,b] - скінчений.

2. підінтегральна функція f(x) визначена і неперервна на [а,b] .

В випадку коли хоча б одна з умов не виконується, інтеграл називається невласним. Розглянемо два найпростіші випадки.

Інтеграл з нескінченними межами інтегрування

Означення6. Нехай f(x) визначена на [а,∞) і інтегровна на [а , Z ] , де [а , Z ] -будь- який скінчений проміжок. Тоді

∞	Ζ
_∫ f ( x )dx=	_Ζlim_→∞_∫ f ( x )dx,	(6.47)
a	a

Невласний інтеграл з нескінченними межами інтегрування.

За формулою Ньютона-Лейбніца _∫ f ( x )dx = F ( Z ) − F ( a ) .

Якщо, при Z → ∞ (F ( Z ) − F ( a )) має скінчену границю, то ця границя буде визначена, і інтеграл даної функції на ( a , ∞ )

	∞	Z
дорівнює	∫	f ( x )dx = lim	f ( x )dx = lim ( F ( z ) − F ( a )).
	Z → ∞^∫	Z → ∞
	a	a

Аналогічно розглядається і інтеграл виду _∫ f ( x )dx

− ∞

			∞
У випадку, коли потрібно обчислити інтеграл	_∫ f ( x )dx	його роз-
			− ∞
	∞	c	∞
бивають на суму двох _∫ f ( x )dx = _∫ f ( x )dx + _∫ f ( x )dx	і обчис-
	− ∞	− ∞	c
люють кожен інтеграл окремо.
3.2. Інтеграл від розривної функції
Нехай	f ( x ) визначена на	[a ,b)і має точку розриву при x = b .
b	b− ε
Отже _∫ f ( x )dx = lim_ε→₀ _∫ f ( x )dx	- відповідний невласний інтеграл
a	a

від розривної функції. Якщо f(x) визначена на (a,b] і x=a точка роз-

b	b
риву, то _∫ f ( x )dx = lim_ε→₀	_∫ f ( x )dx .Якщо ж	f ( x ) має точку розри-
a	a +ε
b	с−ε	в
ву с∈ (a ,b) , то _∫ f ( x )dx = lim_ε→₀ _∫ f ( x )dx + lim_ε→₀	_∫ f ( x )dx .
a	a	с+ε

Якщо для інтегралів пунктів (6.3.1) і (6.3.2) відповідні їм границі існують, то інтеграли називаються збіжними. Якщо границі не іс-нують або нескінченні, то інтеграли називаються розбіжними.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Інтеграла, не знаходячи невизначеного інтеграла	\|	Приклад 26.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.