Інтеграла, не знаходячи невизначеного інтеграла

π
Наприклад _∫²	tg ^p xdx =^π (cos	pπ	)⁻ ¹ якщо ( −1 < p < 1 ) ,

_∫ln sin xdx =− π ln 2 ,і ін.

◘ Чисельне інтегрування

Методи чисельного інтегрування дають наближене чисельне значення визначеного інтеграла, якщо можливо обчислити значення підінтегральної функції в деяких точках проміжку інтегрування.

Нехай треба знайти _∫ f ( x )dx . Проміжок інтегрування [a;b]

розбивають на 2n проміжків однакової довжини і знаходять зна-чення функції y_i = f ( x_i) в точках розбиття y₀, y₁, y₂, _,y₃,... y_{2n .} Тоді

_∫ f ( x )dx ≈ S = S₁ + S₃ + S₅ + ...+ S_2i ₋ ₁ + ...+ S_2n₋ ₁ ,

A2і

-2

A₂

A2і

A2n-2

A₁

A₀

^A2n-1 A_2n

S2i-1

S₁

S2n-1

х₁ х₂

х2і-2 х₂_і

х2n-2 х2n-1 b

Мал. 5

грала.

b	b − а
_∫ f ( x )dx ≈ S =	( y₁ + y₃ + y₅

a	n

де S_i площа криволінійної тра-

пеції (х₂_і_-2 ,A₂_і_-2, A₂_і, х₂_і) . Виок-ремимо криволінійну трапе-

цію (х₂_і_-2 ,A₂_і_-2, A₂_і, х₂_і) (мал.6) і

будемо шукати її площу. Як-що площу фігури (мал.7) (х₂_і_-2 ,A₂_і_-2, A₂_і,х₂_і)замінити площеюпрямокутника з основою (х₂_і_-2

_xх₂_і)то одержимоформулупрямокутниківнаближеногообчислення визначеного інте-

+ ...+ y_2i ₋ ₁ + ...+ y_2n₋ ₁ )

(6.44)

Якщо ж дугу A₂_і_-2, A₂_і замінити відрізком A₂_і_-2, A₂_і (мал.8) то фігура (х₂_і_-2 ,A₂_і_-2, A₂_і, х₂_і) – трапеція, і одержуємо формулу трапецій

b		b − а		y₀ + y_2n
∫	f ( x )dx =	(	+ y₁ + y₃ + ...+ y_2n₋ ₁ )

a		n

А2і-2	А2і-2	А2і-1		А2і-2

	А2і				А2і	А2і

	мал.6			мал.7		мал.8

		х2і-2
х2і-2	х2і	х2і-1	х2і	х2і-2	х2і

(6.45)

А2і-2 А2і-1

А2і

мал.9

х₂і_-2 х2і-1 х₂і

Замінивши дугу A₂_і_-2, A₂_і_-1, A₂_і частиною параболи, яка проходить через точки A₂_і_-2, A₂_і_-1, A₂_і (мал.9) і знову обчисливши відповідну су-

му одержимо формулу Сімпсона (парабол).	(6.46)
b
	_∫ f ( x )dx = (( y₀ + y_2n )+ 2( y₂ + y₄ + ...+ y_2n₋₂ )+ 4( y₁ + y₃ + ...+ y_2n₋₁ ))
	a


		Приклад 25.Обчислити_∫	dx .

					1 + х
Розв’язування.Використаємо формулу Сімпсона.Запишемо
n = 2;		= 0 ,5; x₀ = 0; x₁ = 0 ,5; x₂	= 1; y₀ = 1; y₁ = 0 ,8; y₂ = 0 ,5.
					0 ,5
∫			dx ≈	( 1 + 0 ,5 + 4 ⋅ 0 ,8 ) ≈ 0 ,783 .Збільшуючи кількість
1 +	х

точок розбиття, досягають необхідної точності обчислень.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Наближене обчислення визначених інтегралів	\|	Невласні інтеграли та їх знаходження

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.