• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Згинання консолі силою, прикладеною на кінці

Задачу будемо вирішувати зворотним методом в напруженнях. Схема балки зображена на рис. 3.5. Задамося напруженнями, одержуваними методами опору матеріалів, і перевіримо, чи задовольняють вони основним рівнянням плоскої задачі теорії пружності і чи відповідають заданому навантаженню.

Рис. 3.5. Розрахункова схема консолі

В опорі матеріалів для поперечного згину маємо наступну систему напруженьг:

(а)

Підраховуємо вхідні сюди величини:

згинальний момент

поперечна сила

статичний момент площі відсіченої частини перерізу щодо нейтральної осі

момент інерції площі перерізу щодо нейтральної осі

ширина перерізу .

Підставляючи ці величини в рівняння (а), одержуємо

(3.23)

Власною вагою балки зневажаємо. Тоді при підстановці напружень (3.23) у рівняння рівноваги (3.2) і рівняння нерозривності деформацій (3.9) переконуємося, що вони обертаються в тотожності. Таким чином, напруження (3.23) задовольняють основним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.

Переходимо до розгляду умов на контурі. На верхній і нижній гранях балки ніяких навантажень нема, тому повинна виконуватися наступна умова:

при .

Підставляючи сюди напруження з (3.23), переконуємося, що умова дійсно виконується.

На торці нормальних напружень нема, а дотичні повинні зрівноважити силу . Оскільки закон їх розподілу невідомий, відповідна умова повинна бути записана в інтегральній формі. Отже, при

Скориставшись знову значеннями напружень (3.23), знаходимо, що умови на торці теж виконуються.

Таким чином, напруження, отримані на підставі гіпотези плоских перерізів, підтверджуються теорією пружності, коли сила розподілена по такому ж закону, як і дотичні напруження. При іншому законі розподілу сили вирази напружень будуть іншими, але на підставі принципу Сен-Венана значна різниця буде тільки поблизу торця.

Для повного рішення задачі обчислимо деформації і переміщення. По формулах закону Гука для плоскої задачі (3.8) після підстановки в них напружень (3.23) знаходимо:

Відповідно до формул (3.4),

(б)

(в)

Інтегруючи рівняння (б), знаходимо

(г)

де й — довільні функції.

Підставляючи переміщення (г) у рівняння (в), маємо

або після скорочення й приведення подібних членів

(д)

Отримана рівність може існувати при довільних значеннях і тільки в тому випадку, якщо вираз, що коштє у квадратних дужках, постійні:

(е)

Крім того, з рівняння (д) випливає наступна залежність між постійними:

(ж)

Інтегруючи рівняння (е), знаходимо:

Підставляючи отримані функції у формули (г), одержимо

(з)

Для визначення довільних постійних , , і розглянемо закріплення балки. В опорі матеріалів всі міркування відносять до осі бруса, тому защемлення в плоскої задачі теорії пружності повинне забезпечувати нерухомість точки й відсутність повороту осі балки навколо цієї точки, тобто при

При цих умовах з формул (з) знаходимо

і з рівняння (ж)

Тоді формули (з) приймають вид

(3.24)

Із другого рівняння (3.24), поклавши , одержимо рівняння зігнутої осі балки

яке збігається з рівнянням в опорі матеріалів.

Перевіримо тепер справедливість гіпотези плоских перерезів. Рівняння довільного поперечного переріза до деформування

після деформування прийме вид

Після підстановки виразу переміщення і з формул (3.24)

Виходить, поперечний переріз не залишається плоским, а викривляється по кубічній параболі. Отже, формула (а) для нормальних напружень , виведена на підставі гіпотези плоских перерезів, залишається справедливою і при скривленні перезів.

Читайте також:

1. Адміністративно – територіальний устрій і соціальна структура Слобожанщини у половині XVII – кінці XVIII століття
2. Аналіз консолідованої звітності
3. Аналіз консолідованої звітності
4. Анатомічна будова кісток вільної нижньої кінцівки
5. Анатомія кісток верхньої і нижньої кінцівок та їх з’єднання
6. Варикозне розширення вен нижніх кінцівок
7. Варіанти завдання наведені в кінці методики у додатку №1
8. Вени верхньої кінцівки
9. Виникнення українського козацтва і його визвольна боротьба у кінці XV – I пол. XVII ст.
10. Випишіть програмні документи укр. політичного товариства, що існувало у Києві наприкінці 19 ст.
11. Відновлення громадянського суспільства в Україні в кінці 80-х – на початку 90-х років ХХ ст. Розвиток громадянського суспільства в незалежній Україні.
12. ВІКОВІ, СТАТЕВІ ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ОСОБЛИВОСТІ М'ЯЗІВ ВЕРХНЬОЇ КІНЦІВКИ

Переглядів: 599