Визначення параметрів емпіричних формул по способу найменших квадратів у випадку лінійної залежності

Нехай необхідно установити залежність між двома величинами x і y . Зробимо n вимірів і результати занесемо в таблицю

x	x₁	x₂	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_n

Будемо розглядати x_і і y_і як прямокутні декартові координати точок на площі:

M₁(x₁ , y₁) , M₂(x₂ , y₂) , ... , M_n(x_n , y_n)

Припустимо, що ці точки майже лежать на деякій прямій, як показано на рис. 5.1 , отже, між x і y існує лінійна залежність, тобто

y=ax+b , (5.1)

де a , b – const і їх необхідно визначити.

Рисунок 5.1 – Зображення точок на площині

Точки M_i(x_і , y_i) тільки приблизно лежать на прямій, отже, і формули є наближеними. Таким чином, якщо підставити у формулу ах + b – у = 0 координати x_i , y_i з таблиці, то одержуємо рівності:

, (5.2)

де - відхилення.

Потрібно підібрати коефіцієнти a і b так, щоб відхилення були по можливості малими по абсолютній величині. Відповідно до методу найменших квадратів, підберемо коефіцієнти a і b так, щоб сума квадратів відхилень

(5.3)

була найменшою.

Підставляючи рівності (5.2) у формулу (5.3) одержуємо:

(5.4)

Змінна величина U є функцією двох змінних a і b , де a і b необхідно визначити; x_i і y_i - змінні, отримані в результаті вимірів. Підберемо параметри a і b так, щоб функція U одержала можливо менше значення, тобто

Знайдемо частки похідні функції U по a і b , дорівняємо їх нулю, одержимо нормальну систему:

(5.5)

Із системи (5.5) визначають параметри a і b емпіричної формули (5.1) .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5	\|	Визначення параметрів емпіричних формул по способу найменших квадратів у випадку нелінійної залежності

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.