• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Загальна характеристика задач математичного програмування

Математичне програмування відіграє винятково важливу роль у підготовці фахівців економічного профілю. Використання математичних методів економічній діяльності дозволяє вирішувати оптимальним способом багато виробничих задач організації, планування і управління. Іншими словами, економіст має надійний інструмент для одержання найвищого економічного ефекту в конкретних виробничих умовах.

Вираз "математичне програмування" слід розуміти як ітераційний пошук найкращого варіанта використання обмежених виробничих потужностей і ресурсів для досягнення поставлених цілей [61].

Прикладами, що наочно ілюструють корисність і необхідність знання методів математичного програмування, можуть бути наступні економічні задачі (подаються в змістовній постановці):

одержання максимального випуску продукції або максимального прибутку при заданих матеріальних, трудових та інших витратах;

забезпечення планових показників підприємства при мінімальних фінансових вкладеннях або мінімальній витраті якогось виробничого ресурсу;

досягнення мінімального терміну виготовлення продукції, будівництва об'єкта, товарообігу, виробничого циклу і т.п. при існуючих або заданих виробничих ресурсах (матеріальних, трудових, енергетичних та ін.);

забезпечення мінімальної собівартості продукції при заданих виробничих ресурсах [61].

У наведених прикладах максимальний випуск продукції, максимальний прибуток, мінімальні фінансові вкладення, максимально короткий термін - це є шукані оптимуми {максимуми або мінімуми). У математиці максимум і мінімум мають ще одну назву - екстремум, а задачі пошуку екстремуму називають екстремальними задачами.

У наведених прикладах умови, що накладаються на вирішення задачі (задані матеріальні, трудові й тимчасові витрати; планові показники; виробничі ресурси), називають обмеженнями задачі.

Ті припустимі рішення, при яких досягається оптимум, називають оптимальними, або екстремальними рішеннями.

У загальному випадку екстремальна задача може мати одне, декілька, безліч, нескінченну безліч або жодне оптимальне рішення.

У практиці економіста оптимальне рішення прийнято називати оптимальним планом.

Змістовна постановка задачі повинна дозволяти переходити до строгої математичної моделі. У противному разі необхідно пройти досить трудомісткі й копіткі процедури математичного моделювання й ідентифікації виробничих процесів, що у даному курсі не розглядаються.

У загальному вигляді екстремальна задача формулюється наступним чином: знайти найбільше (максимальне) або найменше (мінімальне) значення деякої функції Y(x_l,x₂, … ,x_n) при умовах f_i(х₁,х₂, ... ,х_n)≤b_i (і =1,m), і де y і f_i - задані функції, а b_i - дійсне число.

Наведене формулювання є узагальненням постановок ряду часткових задач математичного програмування, що можуть розрізнятися між собою як видом функцій y і f_i (лінійні, нелінійні, стохастичні), так і характером (дискретний, неперервний) змінних.

Функцію Y(x_l,x₂,---,x_n), яку мінімізують або максимізують, називають цільовою функцією.

Залежно від особливостей функцій у і f_i математичне програмування можна розподілити на ряд самостійних дисциплін, що вивчають і розробляють методи вирішення окремих класів екстремальних задач. Насамперед, задачі математичного програмування розподіляються на задачі лінійного і нелінійного програмування. При цьому якщо усі функції y і f_i є лінійними, то відповідна задача відноситься до класу задач лінійного програмування. Якщо ж хоча б одна із зазначених функцій є нелінійною, то відповідна задача належить до класу задач нелінійного програмування.

Окремими класами задач математичного програмування є задачі цілочислового, параметричного і дрібно-лінійного програмування.

У задачах цілочислового, або дискретного програмування частина або всі невідомі можуть приймати тільки цілочислові значення.

У задачах параметричного програмування цільова функція або функції обмежень, що визначають область можливих змін змінних, (або і те і інше) залежать від деяких параметрів.

У задачах дрібно-лінійного програмування цільова функція являє собою відношення двох лінійних функцій, а функції, що визначають область припустимих рішень, також є лінійними.

Особливі класи становлять задачі стохастичного і динамічного програмування.

Стохастичне програмування використовують для вирішення за­дач, в яких обмеження миють імовірний, випадковий характер, тобто, необхідно враховувати вплив яких-небудь непередбачених обставин. Як і цільова функція в задачах стохастичного програмування може служити математичне очікування деякого виробничого показника.

До задач такого типу відносяться:

комплектування ремонтних підприємств устаткуванням, коли заздалегідь невідомий обсяг робіт;

визначення необхідної кількості транспортних засобів на пасажирських маршрутах, коли: обсяг перевезень має випадковий характер;

визначення запасів деяких ресурсів, коли його постачання має випадковий характер.

За допомогою лінійного, нелінійного, цілочислового і стохастич­ного програмування вирішуються задачі, що зводяться до відшукання оптимального рішення без урахування можливої динаміки виробничого процесу, тобто без урахування чинника часу.

У динамічному програмуванні мають місце багатоетапні задачі, що вимагають оптимізації прийнятих рішень не як одиничного акту, а з урахуванням розвитку явища, його зміни в часі.

Переваги динамічного програмування:

можливість поетапного аналізу результатів у процесі вирішення задачі, визначення оптимальної стратегії з урахуванням чинника часу;

поглиблення раніше розроблених методів кількісного і якісного дослідження природи економічних процесів;

більш об'єктивне, повне і точне вирішення планово-економічних і виробничих завдань.

Таким чином, математичне програмування є важливим інструментарієм побудови економіко-математичних моделей оптимізації, що досліджує екстремальні задачі і розробляє методи вирішення. Математичне програмування як наука знаходиться в процесі постійного розвитку. Вченими всього світу розроблено багато методів для вирішення різних класів задач математичного програмування. Разом з тим багато задач ще не мають ефективних методів вирішення і чекають своїх дослідників.

Вирішення екстремальної економічної задачі складається з наступних етапів:

побудови економіко-математичної моделі, тобто обґрунтування критерію оптимізації, виявлення і формалізації у вигляді системи рівнянь або нерівностей найбільш істотних обмежень задачі;

вибору математичного методу, що дозволяє за кінцеве число кроків одержати шукане рішення з будь-якою заздалегідь заданою точністю, або вибору відповідної комп'ютерної технології;

знаходження оптимального плану й аналізу отриманих результатів з позицій можливого їхнього практичного застосування, оскільки в «економіко-математичній моделі розв'язуваного завдання враховуються тільки найбільш істотні зв'язки і залежності, а не всі, що мають місце в реальному виробництві.

З погляду економіста оптимальним називається такий план виробництва, що є найкращим з позицій досягнення максимального або мінімального рівня конкретного техніко-економічного критерію оцінки використання виробничого потенціалу і наявних ресурсів.

Критерієм оптимальності називається показник, за яким оцінюється міра ефективності плану. Критерій оптимальності повинен бути однозначним і мати кількісний вираз.

Для побудови економіко-математичної моделі найбільш часто використовуються задачі лінійного програмування. Тому розглянемо їх більш докладно.

Загальна задача лінійного програмування формулюється таким чином: знайти оптимум лінійної функції у(х), якщо на змінні задачі накладені лінійні обмеження у вигляді рівностей і нерівностей.

Аналітичний запис цього завдання має такий вигляд:

y(x)=c^Tx+c₀→ opt , (2.1)

_xÎΩÌRⁿ

Ω: A₁x+b₁£0; (2.2)

A₂x+b₂=0; (2.3)

A₃x+b₃³0; (2.4)

x³0, (2.5)

де x - n - мірний вектор дійсних змінних; с - n - мірний вектор коефіцієнтів; С₀ - вільний член у складі функції у; A₁, А₂, А₃ - матриці коефіцієнтів лінійних систем розмірності m₁×n, m₂×n, m₃×n відповідно, m₂<n; b₁, b₂ ,b₃ - вектори вільних членів обмежень розмірності m₁×1, m₂×1, m₃×1 відповідно.

Часткові задачі лінійного програмування можуть не містити однієї або двох систем обмежень типу (2.2) - (2.4), все рівно яких. Крім того, замість умови невід'ємності (2.5) може мати місце двостороння або одностороння обмеженість змінних.

Задачу, складену з (2.1), (2.2) і (2.5), називають стандартною задачею лінійного програмування.

Канонічна, або основна задача лінійного програмування має такий вигляд:

y(x)=c^Tx+c₀→ max; (2.6)

_xÎΩÌRⁿ

Ω: Ax+b=0; (2.7)

x≥0, (2.8)

де A - матриця коефіцієнтів розмірності m×n, m<n; b - вектори вільних членів розмірності m×1.

Очевидно, що обмеження-нерівність типу "£" можна перетворити в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової невід'ємної змінної, а кожне обмеження-нерівність типу "≥" - в обмеження-рівність шляхом вирахуванням з його лівої частини додаткової невід'ємної змінної. Задачу мінімізації лінійної функції y можна звести задачі максимізації шляхом множення останньої на -1. Таким чином задачу лінійної оптимізації (2.1) - (2.5) завжди можна перетворити в задачу (2.6) - (2.8) і навпаки.

Складання економіко-математичної моделі загальної задачі математичного програмування або її канонічної форми вимагає певних зусиль і кмітливості Але досвід складання економіко-математичних моделей швидко накопичується. Досить мати практику вирішення декількох задач, щоб надалі не мати особливих труднощів при переході від змістовної постановки задачі лінійного програмування до формальної (аналітичної) [61].

Читайте також:

1. I. Загальна характеристика політичної та правової думки античної Греції.
2. I. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
3. I. Застосування похідної та інтеграла до роз’язування задач елементарної математики.
4. II. ВИРОБНИЧА ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОФЕСІЇ
5. II. Морфофункціональна характеристика відділів головного мозку
6. III. Інформаційне забезпечення задачі
7. IIІ. Інформаційне забезпечення задачі
8. IV. Алгоритм вирішення задачі
9. IV. Алгоритм розв’язання задачі
10. IV. Алгоритм розв’язання задачі
11. IV. Алгоритм розв’язання задачі
12. IV. Загальна оцінка діяльності вчителя

Переглядів: 2792