• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лабораторна робота № 11

1. МЕТА РОБОТИ

Навчитися розв’язувати звичайні диференційні рівняння з початковими умовами чисельними методами на ЕОМ.

2. ЗАВДАННЯ І ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ

· Реалізувати схему методу Рунге-Кутта на ЕОМ.

· Навести графік поведінки рішення.

· Зробити загальний звіт по роботах №4 та №5.

3. ЗМІСТ ЗВІТУ

· Номери робіт, назва теми, номер варіанту.

· Короткі відповіді на контрольні запитання.

· Постановка задачі, малюнок, математична модель, метод розв’язку, результати обчислень на ЕОМ.

· Аналіз результатів, висновки.

· Файл з обчисленнями має бути збереженим на дискеті.

4. ПРИКЛАД реалізації алгоритму у EXCEL

Роздивимося на прикладі застосування і програмування обчислювальних схем однокрокових методів.

Приклад 1. Знайдемо рішення диференціального рівняння такого вигляду: dx/dy =y+exp(x)-x

Яке задовольняє початковій умові:

y(0) = 0,25.

Рішення потрібно знайти на відрізку (0,T), де параметр T може приймати будь-які значення.

Точне рішення цього рівняння має такий вигляд:

y(x) = exp(2x) – exp(x) – x .

Нам потрібно знайти чисельне рішення цього рівняння, тобто функцію задану в табличному вигляді, що приймає значення на відрізку з кроком h і порівняти його з точним рішенням у тих же точках.

Визначим крок h по наступній формулі:

h = T/N,

де N - число точок на відрізку , у яких обчислюється значення функції. Для рішення поставленої задачі ми застосуємо метод Ейлера і метод Рунге-Кутта 4-го порядку. Перший метод приводиться для ілюстрації, а другий для безпосереднього рішення.

Алгоритм чисельного рішення прикладу .

Для рішення скористаємося табличним процесором Excel. У колонці I у нас будуть знаходитися межі відрізка [0,Т]. На початку розрахунків покладемо I1 = 0 (це значення лівої межі відрізка [0, Т]). У комірці I2 буде розмір Т (правої межі відрізка [0,Т]). У комірці I3 обчисляємо крок h за формулою наступного вигляду:

= (I1 - I2)/N.

У стовпці А буде обчислюваться рішення нашої задачі по формулі Ейлера. У комірку А1 задамо початкове значення у0= 0.25. У комірку А2 уведемо формулу наступного вигляду:

=A1 + $I$3*(2*A1 + EXP(B1) + B1).

У стовпчику B буде знаходитися поточне значення змінної х. У комірках В1 і відповідно нижче, знаходяться формули наступного вигляду:

=I1

=B1 + $I$3, тобто в комірку В1 пересилається ліва межа відрізка (0 ,Т(, а в комірці В2 прибавляеся розмір кроку h із комірки I3 до значення в попередній комірці В1.

У стовпчику С обчислюєм точне рішення. У комірку С1 занесемо значення y0 рішення в точці х=0, а в комірці С2 формула вигляду:

= ЕХР(2*В2)-ЕХР(В2)+В2/2+0,25

Ця формула обчислює значення точного рішення рівняння при значенні х із комірки В2.

У стовпчику Н обчислюється значення чисельного рішення задачі Коші, отримане по методу Рунге-Кутта 4-го порядку. Значення x_k береться з комірки В2, а значення y_k береться з комірки Н1.

У комірці Н2 написана формула наступного вигляду:

=Н1+(D2+2*E2+2*F2+G2)*$I$3/6.

У комірках D2, E2, F2, G2 записуються формули для коефіцієнтів m1, m2, m3, m4 відповідно. Ці формули мають вигляд:

=2*H1+EXP(B2)-B2;

=2*(H1+D2*$I$3/2)+EXP(B2+ $I$3/2)-B2-$I$3/2;

=2*(H1+E2*$I$3/2)+EXP(B2+$I$3/2)-B2-$I$3/2;

=2*(H1+F2*$I$3)+EXP(B2+$I$3)-B2-$I$3.

Копіюванням формули з 2-го рядка по всіх рядках до значення х=1(у комірці відповідного стовпчика B повинне знаходиться число 1 і останній рядок має номер 101 ), ми одержимо результат по всім точкам інтервалу (0,Т).

Алгоритм обчислення значень рішення задачі Коші реалізований.

Читайте також:

1. II. Будова доменної печі (ДП) і її робота
2. II. Самостійна робота студентів.
3. IV. ВИХОВНА РОБОТА В КЛАСІ
4. IV. ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА СТУДЕНТІВ.
5. IV. Науково-дослідницька робота.
6. IV. Практична робота.
7. IV. Робота над темою уроку
8. Qорганізаційне середовище, в якому виконується робота
9. V. Робота з підручником
10. V. Робота з підручником. с. 59-60
11. V. Робота з програмою «Виконавець Восьминіжка»
12. V. Робота з програмою «Виконавець Садівник».

Переглядів: 315