• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Локальна теорема

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m пов’язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної теорем Муавра—Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (35)

де ℮ називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де

. (36)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

Коли n ® ∞, маємо:

.

Розклавши логарифмічні функції у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду,

При маємо:

Отже,

,

а для великих, хоча й обмежених значень n

,

що й потрібно було довести.

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; ;

2) є функцією парною: ;

3) ;

4) ; ;

; ; отже, — максимум функції Гаусса;

5) .

Таким чином, х₁ = –1, х₂ = 1 будуть точками перегину. При цьому

; ; .

Графік функції Гаусса зображено

Рис. 15

Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

; .

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.

Читайте також:

1. Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує
2. В. Друга теорема про розклад.
3. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми. Теорема існування. Геометричний зміст визначеного інтеграла.
4. Друга теорема Вейєрштрасса
5. Екстремум ф-ї. Необхідна умова існування екстремуму. (Теорема Ферма).
6. Зовнішні ефекти. Теорема Коуза
7. Інтегральна теорема
8. Інтегральна теорема Лапласа
9. Лекция №10. Теорема компенсации. Мощность. Баланс мощностей.
10. Лекция №9. Входные и взаимные проводимости. Теорема взаимности.
11. Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій
12. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа. Формула Пуассона

Переглядів: 477