• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Сума ймовірностей протилежних подій

Ймовірність суми подій, що утворюють повну групу

Теорема. Сума ймовірностей подій A₁, A₂,...А_n, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Доведення. Так як поява однієї з подій повної групи достовірна, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то

Р(А₁+А₂+...+А_n)=1. (*)

Будь-які дві події повної групи несумісні, тому можна застосувати теорему додавання:

Р(А₁+А₂+...+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n). (**)

Порівнюючи (*) і (**), одержимо

Р(А₁)+Р(А₂)+...+Р(А_n)=1.

Приклад. Консультаційний пункт інституту одержує пакети з контрольними роботами з міст А, В і С. Ймовірність одержання пакета з міста А дорівнює 0,7, з міста В - 0,2. Знайти ймовірність того, що черговий пакет буде отриманий з міста С.

Розв’язок. Події «пакет отриманий з міста А», «пакет отриманий з міста В», «пакет отриманий з міста С» утворюють повну групу, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:

0,7+0,2+р=1.

Звідси шукана ймовірність

Р=1- 0,9=0,1.

Протилежними називають дві єдино можливі події, що утворюють повну групу. Якщо одну з двох протилежних подій позначено через А, то іншу прийнято позначати .

Приклад 1. Влучення і промах при пострілі по цілі ­ протилежні події. Якщо А ­ влучення, то ­ промах.

Приклад 2. Із ящика навмання вийнята деталь. Події «вийнята стандартна деталь» і «вийнята нестандартна деталь» ­ протилежні.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Р(А)+Р()=1.

Доведення. Протилежні події утворюють повну групу, а сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, як було показано вище, дорівнює одиниці.

Зауваження 1. Якщо ймовірність однієї з двох протилежних подій позначена через р, то ймовірність іншої події позначають через q. Таким чином, у силу попередньої теореми

р+q=1.

Приклад 3. Ймовірність того, що день буде дощовим, р=0,7. Знайти ймовірність того, що день буде ясним.

Розв’язок. Події «день дощовий» і «день ясний» ­ протилежні, тому шукана ймовірність

q=1-р=1-0,7=0,3.

Зауваження 2. При розв’язанні задач на знаходження ймовірності події А часто зручно спочатку обчислити ймовірність події , а потім знайти шукану ймовірність за формулою

Р(А)=1-Р().

Приклад 4. У ящику знаходиться n деталей, з яких m стандартних. Знайти ймовірність того, що серед k навмання вийнятих деталей хоча б одна стандартна.

Розв’язок. Події «серед вийнятих деталей є хоча б одна стандартна» і «серед витягнутих деталей немає ні одної стандартної» ­ протилежні. Позначимо першу подію через А, а другу ­ через .

Очевидно, що

Р(А)=1-Р().

Знайдемо Р(). Загальне число способів, якими можна витягти k деталей з n деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей дорівнює n-m; з цього числа деталей можна способами витягти k нестандартних деталей. Тому ймовірність того, що серед витягнутих k деталей немає ні одної стандартної, дорівнює Р()=/.

Шукана ймовірність

Р(А)=1-Р()=1-/.

Читайте також:

1. Алгебра випадкових подій
2. Алгебра подій
3. Безвілля, його заподій і переборення.
4. Види випадкових подій
5. Визначення базисних подій. Ідентифікація ризику.
6. Виникнення Народного Руху України за перебудову. Роль цієї організації у розвиткові політичних подій в республіці протягом 1989-1991 р.
7. Витрати від надзвичайних подій
8. Виявлення, оцінка та зменшення ризиків небезпечних подій. Облік і аналіз показників охорони праці
9. Властивості ймовірностей
10. Вступ у теорію ймовірностей
11. Втручання тоталітарних держав до подій в Іспанії
12. Дайте аналіз розвитку революційних подій на Україні в 1905-1907 рр.

Переглядів: 4451