Умовна ймовірність

Добуток подій

ТЕМА 3. ЙМОВІРНІСТЬ ДОБУТКУ ПОДІЙ

Добутком двох подій А і В називають подію АВ, що полягає в спільній появі (суміщенні) цих подій. Наприклад, якщо А - деталь стандартна, В - деталь пофарбована, то АВ - деталь стандартна і пофарбована. Добутком декількох подій називають подію, що полягає в спільній появі всіх цих подій. Наприклад, якщо А, В, С - поява "герба" відповідно в першому, другому і третьому киданнях монети, то ABC - випадання "герба" у всіх трьох випробуваннях.

У темі 1 випадкова подія визначена як подія, яка при здійсненні сукупності умов S може чи відбутися не відбутися. Якщо при обчисленні ймовірності події ніяких інших обмежень, крім умов S, не накладається, то таку ймовірність називають безумовною; якщо ж накладаються й інші додаткові умови, то ймовірність події називають умовною. Наприклад, часто обчислюють ймовірність події В при додатковій умові, що відбулася подія А. Відмітимо, що і безумовна ймовірність, строго кажучи, є умовною, оскільки передбачається здійснення умов S.

Умовною ймовірністю Р_А(В) називають ймовірність події B обчислену в припущенні, що подія А вже наступила.

Приклад. В урні знаходиться 3 білих і 3 чорних кулі. З урни два рази виймають по одній кулі, не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), якщо при першому випробуванні була витягнута чорна куля (подія А).

Розв’язок. Після першого випробування в урні залишилося 5 куль, з них 3 білих. Шукана умовна ймовірність

Цей же результат можна одержати за формулою

Дійсно, ймовірність появи білої кулі при першому випробуванні

Знайдемо ймовірність Р(АВ) того, що в першому випробуванні з’явиться чорна куля, а в другому - біла. Загальне число результатів - спільної появи двох куль, байдуже якого кольору, дорівнює числу розміщень . З цього числа результатів події A сприяють результатів. Отже,

Шукана умовна ймовірність

Як бачимо, отримано попередній результат.

Виходячи з класичного визначення ймовірності формулу (*) можна довести. Це обставина і слугує підставою для наступного загального (застосовного не тільки для класичної ймовірності) визначення.

Умовна ймовірність події В за умови, що подія А вже наступила, за визначенням, дорівнює

Запишемо загальну формулу для обчислення умовної ймовірності.

В області навмання вибирається точка. Позначимо події:

А - точка попала в область А;

В – точка попала в область В.

Потрібно визначити умовну ймовірність .

Оскільки подія В здійснилася, то після цього всі можливі положення точки скорочуються до множини В. Попасти в множину А точка може тільки тоді, коли знаходиться в заштрихованій області. Отже . Поділимо чисельник і знаменникцього дробу на площу . Одержимо, враховуючи, що , .

У зв’язку з цим умовна ймовірність події А при умові,що подія В відбулася, визначається як відношення до при , тобто .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Принцип практичної неможливості малоймовірних подій	\|	Теорема множення ймовірностей

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.