Розглянемо дві події: А і В, ймовірності Р(А) і РА(В) яких відомі. Як знайти ймовірність суміщення цих подій, тобто ймовірність того, що з’явиться і подія А і подія В? Відповідь на це питання дає теорема множення.
Теорема. Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила:
.
Доведення. За визначенням умовної ймовірності,
.
Звідси
. (*)
Зауваження. Застосувавши формулу (*) до події ВА, одержимо
,
чи, оскільки подія ВА не відрізняється від події АВ,
. (**)
Порівнюючи формули (*) і (**), робимо висновок про справедливість рівності
. (***)
Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з’явились:
,
де - ймовірність події , обчислена в припущенні, що події наступили. Зокрема, для трьох подій
.
Відмітимо, що порядок, у якому розташовані події, може бути обраний будь-яким, тобто байдуже яку подію вважати першою, другою і т.д.
Приклад 1. У складальника є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний.
Розв’язок. Ймовірність того, що перший валик виявиться конусним (подія А),
.
Ймовірність того, що другий валик виявиться еліптичним (подія В), обчислена в припущенні, що перший валик - конусний, тобто умовна ймовірність
.
За теоремою множення шукана ймовірність
.
Відмітимо, що, зберігши позначення, легко знайдемо: , , , що наочно ілюструє справедливість рівності (***).
Приклад 2. В урні знаходиться5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання виймають одну кулю, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля (подія А), при другому - чорна (подія В) і при третьому - синя (подія С).
Розв’язок. Ймовірність появи білої кулі в першому випробуванні
.
Ймовірність появи чорної кулі в другому випробуванні обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилась біла куля, тобто умовна ймовірність
.
Ймовірність появи синьої кулі у третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з’явилася біла куля, а в другому - чорна, тобто умовна ймовірність