МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Властивості математичного сподіваннняВластивість 1. Математичне сподіванння постійної величини дорівнює самій постійній: . Доведення. Будемо розглядати постійну С як дискретну випадкову величину, що має одне можливе значення С и приймає його з ймовірністю . Отже, . Зауваження 1. Визначимо добуток постійної величини С на дискретну випадкову величину Х як дискретну випадкову СХ, можливі значення якої дорівнюють добуткам постійної С на можливі значення X; ймовірності можливих значень СХ дорівнюють ймовірностям відповідних можливих значень X. Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює , то ймовірність того, що величина СХ прийме значення також дорівнює . Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванння: . Доведення. Нехай випадкова величинах задана законом розподілу ймовірностей:
З огляду на зауваження 1, напишемо закон розподілу випадкової величини СХ:
Математичне сподіванння випадкової величини СХ: Отже, . Зауваження 2. Перш ніж перейти до наступної властивості, укажемо, що дві випадкові величини називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. У протилежному випадку випадкові величини залежні. Кілька випадкових величин називають взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини. Зауваження 3. Визначимо добуток незалежних випадкових величин X і Y як випадкову величину XY, можливі значення якої дорівнюють добуткам кожного можливого значення X на кожне можливе значення Y; ймовірності можливих значень добутку XY дорівнюють добуткам ймовірностей можливих значень співмножників. Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює ймовірність можливого значення дорівнює то ймовірність можливого значення дорівнює . Відмітимо, що деякі добутки можуть виявитися рівними між собою. У цьому випадку ймовірність можливого значення добутку дорівнює сумі відповідних ймовірностей. Наприклад, якщо , то ймовірність (або, що те ж саме, ) рівна . Властивість 3. Математичне сподіванння добутку двох незалежних випадкових величин рівне добутку їх математичних сподіваннь: . Доведення. Нехай незалежні випадкові величини X і Y задані своїми законами розподілу ймовірностей:
Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY. Для цього перемножимо всі можливі значення X на кожне можливе значення Y; у підсумку одержимо , , і . З огляду на зауваження 3, напишемо закон розподілу XY, припускаючи для простоти, що всі можливі значення добутку різні (якщо це не так, то доведення проводиться аналогічно):
Математичне сподіванння дорівнює сумі добутків всіх можливих значень на їх ймовірності: . або Отже, . Наслідок. Математичне сподіванння добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їхніх математичних сподівань. Наприклад, для трьох випадкових величин маємо: . Для довільного числа випадкових величин доведення проводиться методом математичної індукції. Приклад 1. Незалежні випадкові величини X та Y задані такими законами розподілу:
Знайти математичне сподіванння випадкової величини XY. Розв’язок. Знайдемо математичні сподіванння кожної наданих величин: ; . Випадкові величини X та Y незалежні, тому шукане математичне сподіванння . Зауваження 4. Визначимо суму випадкових величин X та Y як випадкову величину X+Y, можливі значення якої дорівнюють сумам кожного можливого значення X з кожним можливим значенням Y; ймовірності можливих значень X+Y для незалежних величин X та Y дорівнюють добуткам імовірностей доданків; для залежних величин – добуткам ймовірності одного доданка на умовну ймовірність другого. Відмітимо, що деякі суми x+y можуть виявитися рівними між ссбой. У цьому випадку ймовірність можливого значення суми дорівнює сумі відповідних qмовірностей. Наприклад, якщо x1+y2=x3+y5 і ймовірності цих можливих значень відповідно рівні р12 і p35, то ймовірність x1+y2 (або, що те ж саме, x3+y5) дорівнює р12+p35. Наведена нижче властивість справедлива як для незалежних, так і для залежних випадкових величин.
Читайте також:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|