• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Властивості математичного сподіванння

Властивість 1. Математичне сподіванння постійної величини дорівнює самій постійній:

.

Доведення. Будемо розглядати постійну С як дискретну випадкову величину, що має одне можливе значення С и приймає його з ймовірністю . Отже,

.

Зауваження 1. Визначимо добуток постійної величини С на дискретну випадкову величину Х як дискретну випадкову СХ, можливі значення якої дорівнюють добуткам постійної С на можливі значення X; ймовірності можливих значень СХ дорівнюють ймовірностям відповідних можливих значень X. Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює , то ймовірність того, що величина СХ прийме значення також дорівнює .

Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподіванння:

.

Доведення. Нехай випадкова величинах задана законом розподілу ймовірностей:

З огляду на зауваження 1, напишемо закон розподілу випадкової величини СХ:

Математичне сподіванння випадкової величини СХ:

Отже,

.

Зауваження 2. Перш ніж перейти до наступної властивості, укажемо, що дві випадкові величини називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. У протилежному випадку випадкові величини залежні. Кілька випадкових величин називають взаємно незалежними, якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Зауваження 3. Визначимо добуток незалежних випадкових величин X і Y як випадкову величину XY, можливі значення якої дорівнюють добуткам кожного можливого значення X на кожне можливе значення Y; ймовірності можливих значень добутку XY дорівнюють добуткам ймовірностей можливих значень співмножників. Наприклад, якщо ймовірність можливого значення дорівнює ймовірність можливого значення дорівнює то ймовірність можливого значення дорівнює .

Відмітимо, що деякі добутки можуть виявитися рівними між собою. У цьому випадку ймовірність можливого значення добутку дорівнює сумі відповідних ймовірностей. Наприклад, якщо , то ймовірність (або, що те ж саме, ) рівна .

Властивість 3. Математичне сподіванння добутку двох незалежних випадкових величин рівне добутку їх математичних сподіваннь:

.

Доведення. Нехай незалежні випадкові величини X і Y задані своїми законами розподілу ймовірностей:

Складемо всі значення, які може приймати випадкова величина XY. Для цього перемножимо всі можливі значення X на кожне можливе значення Y; у підсумку одержимо , , і . З огляду на зауваження 3, напишемо закон розподілу XY, припускаючи для простоти, що всі можливі значення добутку різні (якщо це не так, то доведення проводиться аналогічно):

Математичне сподіванння дорівнює сумі добутків всіх можливих значень на їх ймовірності:

.

або

Отже, .

Наслідок. Математичне сподіванння добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їхніх математичних сподівань.

Наприклад, для трьох випадкових величин маємо:

.

Для довільного числа випадкових величин доведення проводиться методом математичної індукції.

Приклад 1. Незалежні випадкові величини X та Y задані такими законами розподілу:

Знайти математичне сподіванння випадкової величини XY.

Розв’язок. Знайдемо математичні сподіванння кожної наданих величин:

;

.

Випадкові величини X та Y незалежні, тому шукане математичне сподіванння

.

Зауваження 4. Визначимо суму випадкових величин X та Y як випадкову величину X+Y, можливі значення якої дорівнюють сумам кожного можливого значення X з кожним можливим значенням Y; ймовірності можливих значень X+Y для незалежних величин X та Y дорівнюють добуткам імовірностей доданків; для залежних величин – добуткам ймовірності одного доданка на умовну ймовірність другого.

Відмітимо, що деякі суми x+y можуть виявитися рівними між ссбой. У цьому випадку ймовірність можливого значення суми дорівнює сумі відповідних qмовірностей. Наприклад, якщо x₁+y₂=x₃+y₅ і ймовірності цих можливих значень відповідно рівні р₁₂ і p₃₅, то ймовірність x₁+y₂ (або, що те ж саме, x₃+y₅) дорівнює р₁₂+p₃₅.

Наведена нижче властивість справедлива як для незалежних, так і для залежних випадкових величин.

Читайте також:

1. Аеродинамічні властивості колісної машини
2. Аналізатори людини та їхні властивості.
3. Аналізатори людини та їхні властивості.
4. Атрибутивні ознаки і властивості культури
5. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
6. Біосфера Землі, її характерні властивості
7. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
8. Будова і властивості аналізаторів
9. Векторний добуток і його властивості.
10. Види і властивості радіоактивних випромінювань
11. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
12. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

Переглядів: 642