Положення площини в декартовій системі координат повністю визначається деякою точкою цієї площини і ненульовим вектором , перпендикулярним до цієї площини (рис. 8.1).
Ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називають нормальним вектором цієї площини.
Для довільної точки площини і тільки для точок даної площини вектор , тому їх скалярний добуток рівний нулю: . Записавши умову перпендикулярності цих векторів в координатній формі, отримаємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора:
. (8.1)
Це рівняння є рівнянням першої степені відносно поточних координат , , .
Так як вектор – ненульовий, то .
Надаючи коефіцієнтам А, В, С рівняння (8.1) довільних значень, отримаємо рівняння відповідних площин, що проходять через задану точку .
Сукупність площин, , що проходять через задану точку, називають в’язкою площин, а рівняння (8.1) – рівнянням в’язки площин.
Перетворимо рівняння (8.1):
.
Ввівши позначення , отримаємо
. (8.2)
Рівняння (8.2) називають загальним рівнянням площини.
Частинні випадки загального рівняння площини:
1) Якщо , то рівняння набуде вигляду . Цьому рівнянню задовольняють координати початку координат . Отже, площина проходить через початок координат.
2) Якщо , то матимемо рівняння . Вектор . Отже, площина паралельна осі .
Якщо , то площина паралельна осі .
Якщо , то площина паралельна осі .
3) Якщо , то площина проходить через початок координат і паралельна осі , тобто площина проходить через вісь . Аналогічно, рівнянням , відповідають площини, що проходить відповідно через осі , .
4) Якщо , то рівняння (8.2) набуде вигляду або – рівняння площини, паралельної координатній площині. Аналогічно, рівнянням , відповідають площини, паралельні площинам , відповідно.
5) Якщо , то рівняння (8.2) матиме вигляд або – це рівняння площини. Аналогічно, – рівняння площини, – рівняння площини.
Приклад 8.1.Скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .
Розв’язок. Підставимо координати точки і вектора в рівняння (8.1), отримаємо